【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調遞減區(qū)間;
(Ⅱ)證明當時, ;
(Ⅲ)若關于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)整數(shù)的最小值為2.
【解析】試題分析:(1)求出導數(shù),解即可求出單減區(qū)間;(2)由(Ⅰ)得: 在遞減,∴,故, 時, ,分別令,累加即可得證;(3)由恒成立得在上恒成立,問題等價于在上恒成立,只需利用導數(shù)求的最大值即可.
試題解析:
(Ⅰ)因為,所以
此時, ,
由,得,又,所以,所以的單調減區(qū)間為.
(Ⅱ)令,由(Ⅰ)得: 在遞減,∴,
故, 時, ,分別令,
故 ,
∴時, .
(Ⅲ)由恒成立得在上恒成立,問題等價于在上恒成立.
令,只要.
因為,令,得.
設, 在上單調遞減,不妨設的根為.當時, ;當時, ,
所以在上是增函數(shù);在上是減函數(shù).
所以 .
因為, ,所以,此時,即.
所以整數(shù)的最小值為2.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍;
(2)在(1)中, 取最小值時,設函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明不等式: (且).
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【題目】邗江中學高二年級某班某小組共10人,利用寒假參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會.
(1)記“選出2人參加義工活動的次數(shù)之和為4”為事件,求事件發(fā)生的概率;
(2)設為選出2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求曲線在點處的切線的斜率;
(Ⅱ)判斷方程(為的導數(shù))在區(qū)間內的根的個數(shù),說明理由;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個極值點,求的取值范圍.
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【題目】把長和寬分別為和2的長方形沿對角線折成的二面角,下列正確的命題序號是__________.
①四面體外接球的體積隨的改變而改變;
②的長度隨的增大而增大;
③當時,長度最長;
④當時,長度等于.
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【題目】【2018屆北京市海淀區(qū)】如圖,三棱柱側面底面,
, 分別為棱的中點.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求三棱柱的體積;
(Ⅲ)在直線上是否存在一點,使得平面?若存在,求出的長;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖矩形中, .點在邊上, 且, 沿直線向上折起成.記二面角的平面角為,當 時,
①存在某個位置,使;
②存在某個位置,使;
③任意兩個位置,直線和直線所成的角都不相等.
以上三個結論中正確的序號是
A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
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