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【題目】已知函數,

(Ⅰ)求曲線在點處的切線的斜率

(Ⅱ)判斷方程的導數在區(qū)間內的根的個數說明理由

(Ⅲ)若函數在區(qū)間內有且只有一個極值點的取值范圍

【答案】見解析

【解析】試題分析:求導.根據導數的幾何意義可得.

(Ⅱ)設, .

的單調性及因為, ,可知有且只有一個使成立.即方程在區(qū)間內有且只有一個實數根.

(Ⅲ)若函數在區(qū)間內有且只有一個極值點,由于在區(qū)間內有且只有一個零點,兩側異號.

的單調性可知函數處取得極大值.

時,雖然函數在區(qū)間內有且只有一個零點, 兩側同號,不滿足在區(qū)間內有且只有一個極值點的要求.

若函數在區(qū)間內有且只有一個零點,兩側異號

則只需滿足: .即可得到的取值范圍

試題解析:

. .

(Ⅱ)設, .

,則函數為減函數.

又因為 ,

所以有且只有一個,使成立.

所以函數在區(qū)間內有且只有一個零點即方程在區(qū)間內有且只有一個實數根.

(Ⅲ)若函數在區(qū)間內有且只有一個極值點,由于在區(qū)間內有且只有一個零點,兩側異號.

因為當時,函數為減函數,所以在, ,成立,函數為增函數;

,成立,函數為減函數.

則函數處取得極大值.

時,雖然函數在區(qū)間內有且只有一個零點, 兩側同號,不滿足在區(qū)間內有且只有一個極值點的要求.

由于 ,顯然.

若函數在區(qū)間內有且只有一個零點,兩側異號,

則只需滿足:

.即,解得.

練習冊系列答案
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