【題目】隨機(jī)將1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組,每組n個(gè)數(shù).A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2,記ξ=a2-a1,η=b2-b1.
(1)當(dāng)n=3時(shí),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C);
(3)對(duì)(2)中的事件C, 表示C的對(duì)立事件,判斷P(C)和P()的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1) 見(jiàn)解析;(2) 見(jiàn)解析;(3) 見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)寫(xiě)出變量的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率值,即可列出分布列,從而求得數(shù)學(xué)期望;
(2)求出總基本事件個(gè)數(shù)及滿(mǎn)足條件的事件個(gè)數(shù),即可求解;
(3)寫(xiě)出兩個(gè)概率,用數(shù)學(xué)歸納法求解即可。
試題解析:(1)當(dāng)n=3時(shí),ξ的所有可能取值為2,3,4,5.
將6個(gè)正整數(shù)平均分成A、B兩組,不同的分組方法共有C=20種,所以ξ的分布列為
ξ | 2 | 3 | 4 | 5 |
P |
E(ξ)=2×+3×+4×+5×=.
(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值為:n-1,n,n+1,…,2n-2.
又ξ和η恰好相等且等于n-1時(shí),不同的分組方法有2種;
ξ和η恰好相等且等于n時(shí),不同的分組方法有2種;
ξ和η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)時(shí),不同的分組方法有2C種;
∴當(dāng)n=2時(shí),P(C)==,
當(dāng)n≥3時(shí),P(C)=
(3)由(2)知,當(dāng)n=2時(shí),P()=,因此P(C)>P().
而當(dāng)n≥3時(shí),P(C)<P(),理由如下:
P(C)<P()等價(jià)于4(2+)<C.①
用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明:
1°當(dāng)n=3時(shí),①式左邊=4(2+C)=4(2+2)=16,①式右邊=C=20,所以①式成立.
2°假設(shè)n=m(m≥3)時(shí)①式成立,
即4(2+)<C成立,
那么,當(dāng)n=m+1時(shí),
左邊=4(2+)
=4(2+)+4C<C+4C
=+
=
<
=C·<C=右邊.
即當(dāng)n=m+1時(shí)①式也成立.
綜合1°,2°得:對(duì)于n≥3的所有正整數(shù),都有P(C)<P()成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)滿(mǎn)足,其中且.
(1)對(duì)于函數(shù),當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的集合;
(2)時(shí), 的值恒為負(fù)數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在上的值域;
(2)試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京時(shí)間3月15日下午,谷歌圍棋人工智能與韓國(guó)棋手李世石進(jìn)行最后一輪較量, 獲得本場(chǎng)比賽勝利,最終人機(jī)大戰(zhàn)總比分定格.人機(jī)大戰(zhàn)也引發(fā)全民對(duì)圍棋的關(guān)注,某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱(chēng)為“圍棋迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)?
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計(jì) |
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名學(xué)生,抽取3次,記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,期望和方差.
附: ,其中.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】邗江中學(xué)高二年級(jí)某班某小組共10人,利用寒假參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會(huì).
(1)記“選出2人參加義工活動(dòng)的次數(shù)之和為4”為事件,求事件發(fā)生的概率;
(2)設(shè)為選出2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn)和交于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率;
(Ⅱ)判斷方程(為的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù),說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若時(shí), ,求的最小值;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在兩條直線(xiàn),都是曲線(xiàn)的切線(xiàn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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