【題目】已知三棱錐M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O為AC的中點，點N在邊BC上，且.

（1）證明：BO平面AMC；

（2）求二面角N-AM-C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）先證明，即可證明BO平面AMC；

（2）因為兩兩垂直，建立空間直角坐標系如圖所示．求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到結果.

（1）如圖所示：連接，

在中：，則，.

在中：，為的中點，則，且

在中：，滿足：

根據(jù)勾股定理逆定理得到 相交于，

故平面.

（2）因為兩兩垂直，建立空間直角坐標系如圖所示．因為,，

則，

由所以，,

設平面的法向量為，則

令，得，

因為平面，所以為平面的法向量，

所以與所成角的余弦為．

所以二面角的正弦值為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術支援.現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（，其中 ）

抗倒伏數(shù)據(jù)如下：

143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175

180 188 188 192 195 195 199 203 206 206

易倒伏數(shù)據(jù)如下：

151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190 193 194 195 198

199 199 202 202 203

（1）完成 2×2 列聯(lián)表，并說明能否在犯錯概率不超過0.01的條件下認為抗倒伏是否與玉米矮莖有關?

（2）（i）按照分層抽樣的方式，在上述樣本中，從易倒伏和抗倒伏兩組中抽出9株玉米，再從這9株中取出兩株進行雜交試驗，設取出的易倒伏玉米株數(shù)為X，求X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

（ii）若將頻率視為概率，從抗倒伏的玉米試驗田中再隨機取出50株，求取出的高莖玉米株數(shù)的數(shù)學期望和方差.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為固定的整數(shù)，定義任意整數(shù)坐標點關于的余數(shù)是關于的余數(shù).找出所有正整數(shù)數(shù)組，使得以、、、為頂點的長方形具有如下性質(zhì)：

ⅰ.長方形內(nèi)整數(shù)點以為余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同；

ⅱ.長方形邊界上整數(shù)點以為余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，底面是菱形，，，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一個正方形花圃被分成5份．

（1）若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，己知現(xiàn)有紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法?

（2）若將6個不同的盆栽都擺放入這5個部分，且要求每個部分至少有一個盆栽，問有多少種不同的放法?

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】齊王有上等,中等,下等馬各一匹；田忌也有上等,中等,下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽,若有優(yōu)勢的馬一定獲勝,則齊王的馬獲勝的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列判斷正確的是（ ）

A.若隨機變量服從正態(tài)分布，，則；

B.已知直線平面，直線平面，則“”是“”的必要不充分條件；

C.若隨機變量服從二項分布：，則；

D.已知直線經(jīng)過點，則的取值范圍是

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在2018年俄羅斯世界杯期間,莫斯科的部分餐廳經(jīng)營了來自中國的小龍蝦,這些小龍蝦標有等級代碼.為得到小龍蝦等級代碼數(shù)值與銷售單價之間的關系,經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：

等級代碼數(shù)值

38

48

58

68

78

88

銷售單價(元

16.8

18.8

20.8

22.8

24

25.8

（1）已知銷售單價與等級代碼數(shù)值之間存在線性相關關系,求關于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.1)；

（2）若莫斯科某餐廳銷售的中國小龍蝦的等級代碼數(shù)值為98，請估計該等級的中國小龍蝦銷售單價為多少元？

參考公式：對一組數(shù)據(jù),，····,其回歸直線的斜率和截距最小二乘估計分別為：,.

參考數(shù)據(jù)：,.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種植物感染病毒極易導致死亡，某生物研究所為此推出了一種抗病毒的制劑，現(xiàn)對20株感染了病毒的該植株樣本進行噴霧試驗測試藥效.測試結果分“植株死亡”和“植株存活”兩個結果進行統(tǒng)計；并對植株吸收制劑的量(單位：mg)進行統(tǒng)計.規(guī)定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上為“足量”，否則為“不足量”.現(xiàn)對該20株植株樣本進行統(tǒng)計，其中 “植株存活”的13株，對制劑吸收量統(tǒng)計得下表.已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株.

編號

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

吸收量(mg)

6

8

3

8

9

5

6

6

2

7

7

5

10

6

7

8

8

4

6

9

（1）完成以下列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關？

吸收足量

吸收不足量

合計

植株存活

1

植株死亡

合計

20

（2）①若在該樣本“吸收不足量”的植株中隨機抽取3株，記為“植株死亡”的數(shù)量，求得分布列和期望；

②將頻率視為概率，現(xiàn)在對已知某塊種植了1000株并感染了病毒的該植物試驗田里進行該藥品噴霧試驗，設“植株存活”且“吸收足量”的數(shù)量為隨機變量，求.

參考數(shù)據(jù)：，其中

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