【題目】如圖，正三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長都為2，是的中點.

（1）在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在指出點在線段上的位置，若不存在，請說明理由；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）存在，點為線段的中點（2）.

【解析】

（1）設的中點為,連接,以為坐標原點,分別以為、、軸建立空間直角坐標系,先求得平面的法向量,若平面平面,則平面,進而求解即可；

（2）由（1），利用與求解即可

（1）證明：存在點為線段的中點,使得平面平面，

設的中點為,連接,

以為坐標原點,分別以為、、軸建立空間直角坐標系,如圖所示,

因為正三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長都為2,是的中點,

所以在中,,

則,

所以,

設為平面的法向量,

則即,設,則,所以；

因為,

,所以,

若線段上存在點,使得平面平面,

設點坐標為,則,

因為平面平面,所以也為平面的法向量,即,

則,所以,所以點為線段的中點

（2）解：由（1）得為平面的法向量,,

則,

所以直線與平面所成的角的正弦值為.

練習冊系列答案
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(1)求獲得飲水杯的三人中至少有一人的紅包超過5元的概率；

(2)統(tǒng)計一周內(nèi)每天使用支付寶付款的人數(shù)x與商家每天的凈利潤y元，得到7組數(shù)據(jù)，如表所示，并作出了散點圖．

(i)直接根據(jù)散點圖判斷，與出哪一個適合作為每天的凈利潤的回歸方程類型．

(ii)根據(jù)(i)的判斷，建立y關(guān)于x的回歸方程；若商家當天的凈利潤至少是1400元，估計使用支付寶付款的人數(shù)至少是多少?(a，b，c，d的值取整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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（2）若、、分別是線段、、的中點，求證：直線平面．

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A. 6B. 5C. 4D. 2

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