【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且當(dāng)直線斜率為2時(shí),.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條弦與,問(wèn)在軸上是否存在一定點(diǎn),使得直線過(guò)點(diǎn)時(shí),為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)存在,定點(diǎn)
【解析】
(1)設(shè),,由已知可得,將拋物線方程與直線方程聯(lián)立,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理,即可求解;
(2)假設(shè)在軸上存在點(diǎn)滿足條件,設(shè),,,利用的坐標(biāo)關(guān)系可得,,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)系,設(shè)出直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,即可求解.
解:(1)設(shè),,
∵當(dāng)直線斜率為2時(shí),,∴, ①
設(shè)直線方程為,
聯(lián)立直線方程與拋物線方程,得,
∴,代入①式得,
∴拋物線方程為.
(2)假設(shè)在軸上存在點(diǎn),使得直線過(guò)點(diǎn)時(shí),為定值.
設(shè),,,
則,
、在拋物線上,則有,,
∴
, ②
設(shè)直線方程,
聯(lián)立直線方程與拋物線方程,
得,∴,,
代入②式得.
∵為定值,∴,
即,且
∴存在定點(diǎn),使得直線過(guò)點(diǎn)時(shí),為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為矩形,二面角A-CD-F為60°,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,DE=DC=3,CF=6.
(1)求證:BF∥平面ADE;
(2)在線段CF上求一點(diǎn)G,使銳二面角B-EG-D的余弦值為.
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【題目】設(shè)點(diǎn)P,Q分別是曲線y=xe﹣x(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))和直線y=x+3上的動(dòng)點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間距離的最小值為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是梯形, , , , ,側(cè)面底面.
(1)求證:平面平面;
(2)若與底面所成角為,求二面角的余弦值.
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【題目】下列命題是假命題的是( )
A. 某企業(yè)有職工150人,其中高級(jí)職稱15人,中級(jí)職稱45人,一般職員90人,若用分層抽樣的方法抽出一個(gè)容量為30的樣本,則一般職員應(yīng)抽出18人;
B. 用獨(dú)立性檢驗(yàn)(列聯(lián)表法)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系時(shí),算出的隨機(jī)變量的值越大,說(shuō)明“與有關(guān)系”成立的可能性越大;
C. 已知向量,,則是的必要條件;
D. 若,則點(diǎn)的軌跡為拋物線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】微信已成為人們常用的社交軟件,“微信運(yùn)動(dòng)”是由騰訊開(kāi)發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào).手機(jī)用戶可以通過(guò)關(guān)注“微信運(yùn)動(dòng)”公眾號(hào)查看自己每天行走的步數(shù),同時(shí)也可以和好友進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的PK或點(diǎn)贊.現(xiàn)從小明的微信朋友圈內(nèi)隨機(jī)選取了50人(男、女各25人),并記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下表:
步數(shù) 性別 | 0~3000 | 3001~6000 | 6001~9000 | 9001~12000 | >12000 |
男 | 1 | 1 | 3 | 15 | 5 |
女 | 0 | 4 | 11 | 8 | 2 |
若某人一天走路的步數(shù)超過(guò)9000步被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”,否則被系統(tǒng)評(píng)定為“懈怠型”。
(1)利用樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過(guò)12000步的概率;
(2)根據(jù)題意完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有99.5%的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)?
積極型 | 懈怠型 | 總計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
總計(jì) |
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為,原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點(diǎn),是否存在過(guò)的直線,使與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)?若存在,求出的方程:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,直線,相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為-2,設(shè)點(diǎn)的軌跡是曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)、(均不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)),設(shè)曲線與軸的正半軸交于點(diǎn),若,垂足為且,求證:直線恒過(guò)定點(diǎn).
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【題目】選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)若曲線與無(wú)公共點(diǎn),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若曲線的參數(shù)方程中,,且曲線與交于,兩點(diǎn),求.
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