【題目】設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,直線,相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為-2,設(shè)點(diǎn)的軌跡是曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)、(均不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)),設(shè)曲線與軸的正半軸交于點(diǎn),若,垂足為且,求證:直線恒過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)直線,的斜率之積為-2,列方程,整理即可得出曲線的軌跡方程.
(2)聯(lián)立直線與曲線方程得,根據(jù)有兩個(gè)不相同的交點(diǎn),有根的判別式得①,再利用韋達(dá)定理得,.
根據(jù)列等式方程,整理即可求出或,分別與討論得出直線恒過(guò)定點(diǎn).
解:(1)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),
因?yàn)橹本,的斜率之積為-2
所以,
整理得曲線的方程為:
(2)由題意:聯(lián)立
得,
由得①
設(shè),,則,.
,
所以
即,
,
所以或均適合①.
當(dāng)時(shí),直線過(guò)點(diǎn),
當(dāng)時(shí),直線過(guò)點(diǎn),舍.
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直,,.,.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)線段上是否存在點(diǎn),使得平面?不需說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且當(dāng)直線斜率為2時(shí),.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條弦與,問(wèn)在軸上是否存在一定點(diǎn),使得直線過(guò)點(diǎn)時(shí),為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),,若直線上至少存在三個(gè)點(diǎn),使得是直角三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C過(guò)點(diǎn),焦點(diǎn),圓O的直徑為.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn).若的面積為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】回收1噸廢紙可以生產(chǎn)出0.8噸再生紙,可能節(jié)約用水約100噸,節(jié)約用煤約1.2噸,回收1噸廢鉛蓄電池可再生鉛約0.6噸,可節(jié)約用煤約0.8噸,節(jié)約用水約120噸,回收每噸廢鉛蓄電池的費(fèi)用約0.9萬(wàn)元,回收1噸廢紙的費(fèi)用約為0.2萬(wàn)元.現(xiàn)用于回收廢紙和廢鉛蓄電池的費(fèi)用不超過(guò)18萬(wàn)元,在保證節(jié)約用煤不少于12噸的前提下,最多可節(jié)約用水約__________噸.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)
平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表;
鍛煉不達(dá)標(biāo) | 鍛煉達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計(jì) |
并通過(guò)計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出10人,進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流,
(i)求這10人中,男生、女生各有多少人?
(ii)從參加體會(huì)交流的10人中,隨機(jī)選出2人作重點(diǎn)發(fā)言,記這2人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式:,其中.
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),恒有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
附:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周牌算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.右面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱(chēng)為弦實(shí),圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱(chēng)為朱實(shí)黃實(shí),利用勾股(股勾)朱實(shí)黃實(shí)弦實(shí),化簡(jiǎn),得勾股弦,設(shè)勾股中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘顆數(shù)大約為( )(參考數(shù)據(jù),)
A.B.C.D.
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