Question

【題目】若函數(shù)y=f（x）對定義域的每一個值x1，在其定義域均存在唯一的x2，滿足f（x1）f（x2）=1，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．

（1）判斷，y=2x是否為“依賴函數(shù)”；

（2）若函數(shù)y=a+sinx（a＞1）， 為依賴函數(shù)，求a的值，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）不是，y=2x是（2） ，證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義進行判斷即可，

（2）只需要函數(shù)y=a+sinx的最大值和最小值滿足f（x1）f（x2）=1即可，建立方程關(guān)系進行求解即可．

（1）解：（1）函數(shù)，由f（x1）f（x2）=1，得，

對應(yīng)的x1、x2不唯一，所以不是“依賴函數(shù)”；

對于函數(shù)y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得，

所以x2=﹣x1，可得定義域內(nèi)的每一個值x1，都存在唯一的值x2滿足條件，故函數(shù)y=2x是“依賴函數(shù)”．

（2）當(dāng)時，函數(shù)y=a+sinx（a＞1）為增函數(shù)，且函數(shù)關(guān)于（0，a）對稱，

若函數(shù)y=a+sinx（a＞1），為依賴函數(shù)，

則只需要函數(shù)的最大值和最小值滿足f（x1）f（x2）=1即可，

則函數(shù)的最大值為a+1，最小值為a﹣1，

則由（a+1）（a﹣1）=1得a2﹣1=1，

得a2=2，因為a＞1，所以得a=．