【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)恰好圍成一個(gè)面積為的等邊三角形.

1)求橢圓的方程;

2)如圖,設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、,右焦點(diǎn)為是橢圓上異于,的動(dòng)點(diǎn),直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系,并加以證明.

【答案】1;(2)相切,證明見(jiàn)解析

【解析】

1)由條件可知,,解得,再根據(jù)條件求

2)設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,表示點(diǎn)的坐標(biāo),并表示直線的方程,利用兩直線的交點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo),并表示圓心,利用圓心到直線的距離,判斷直線與圓的位置關(guān)系.

解:(1)設(shè)橢圓半焦距為

依題意有,∴,,故的方程為.

(2)以為直徑的圓與直線相切,

證明如下:易知,,,在點(diǎn)處的切線方程為.

由題意可設(shè)直線的方程為.

則點(diǎn)坐標(biāo)為,中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則.

所以,.

①當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.

直線軸,此時(shí)以為直徑的圓與直線相切.

②當(dāng)時(shí),則直線的斜率.

所以直線的方程為.

點(diǎn)到直線的距離

.

又因?yàn)?/span>,故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),以為直徑的圓與直線相切.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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與平面所成角的大小為

是等邊三角形

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則上面結(jié)論正確的為_______

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1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益的函數(shù)關(guān)系式;

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A.PQx軸,則△PQF2的周長(zhǎng)為

B.PAlD,則必有QD//x

C.PQ中點(diǎn)為M,則必有PQMF2

D.PO交雙曲線C右支于點(diǎn)N,則必有PQ//NF2

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A.B.C.D.

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②若,且,則此三角形為直角三角形,且;

③當(dāng),且時(shí),此三角形有兩解.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為(

A.0B.1C.2D.3

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