【題目】已知橢圓的右頂點為,左焦點為,離心率,過點的直線與橢圓交于另一個點,且點軸上的射影恰好為點,若

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過圓上任意一點作圓的切線與橢圓交于,兩點,以為直徑的圓是否過定點,如過定點,求出該定點;若不過定點,請說明理由.

【答案】(1);(2)以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點.

【解析】

1)先根據(jù)離心率得,再根據(jù)點B在橢圓上得B點縱坐標(biāo),最后根據(jù)三角形面積公式解得,即得,(2)先考慮直線的斜率不存在情況,確定定點,再利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積論證圓過坐標(biāo)原點.

(1)∵,,

設(shè),代人橢圓方程得:

,

,

,

,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,以為直徑的圓的圓心為,半徑為2,

為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ,

因為兩圓都過坐標(biāo)原點,∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點,

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,

因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離,

,

所以

,

化簡得:,

,

,

∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點,

綜上,以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“愛國,是人世間最深層、最持久的情感,是一個人立德之源、立功之本。”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中,愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進(jìn)行科技改造,根據(jù)市場調(diào)研與模擬,得到科技改造投入(億元)與科技改造直接收益(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

當(dāng)時,建立了的兩個回歸模型:模型①:;模型②:;當(dāng)時,確定滿足的線性回歸方程為:.

(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較當(dāng)時模型①、②的相關(guān)指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

(附:刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù),.)

(2)為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時,國家給予公司補貼收益10億元,以回歸方程為預(yù)測依據(jù),比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大;

(附:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式

(3)科技改造后,“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效大幅提高,服從正態(tài)分布,公司對科技改造團隊的獎勵方案如下:若發(fā)動機的熱效率不超過,不予獎勵;若發(fā)動機的熱效率超過但不超過,每臺發(fā)動機獎勵2萬元;若發(fā)動機的熱效率超過,每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.

(附:隨機變量服從正態(tài)分布,則,.)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(Ⅰ)若函數(shù)上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線交于兩點,線段中點的橫坐標(biāo)為,證明:為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知四棱錐的底面是菱形,,底面上的任意一點.

(1)求證:平面平面;

(2)設(shè),是否存在點使平面與平面所成的銳二面角的大小為?如果存在,求出點的位置,如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以原點為極點,以軸為非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系相同的長度單位.圓的方程為被圓截得的弦長為.

(Ⅰ)求實數(shù)的值;

(Ⅱ)設(shè)圓與直線交于點,若點的坐標(biāo)為,且,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓的離心率為,圓軸正半軸交于點, 圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點,求證:為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為線段AC的中點,點E在線段A1C1上,則直線OE與平面A1BC1所成角的正弦值的取值范圍是(  )

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著科技的發(fā)展,近年看電子書的國人越來越多;所以近期有許多人呼呼“回歸紙質(zhì)書”,目前出版物閱讀中紙質(zhì)書占比出現(xiàn)上升現(xiàn)隨機選出200人進(jìn)行采訪,經(jīng)統(tǒng)計這200人中看紙質(zhì)書的人數(shù)占總?cè)藬?shù).將這200人按年齡分成五組:第l組,第2組,第3組,第4組,第5組,其中統(tǒng)計看紙質(zhì)書的人得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求的值及看紙質(zhì)書的人的平均年齡;

(2)按年齡劃分,把年齡在的稱青壯年組,年齡在的稱為中老年組,若選出的200人中看電子書的中老年人有10人,請完成下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為看書方式與年齡層有關(guān)?

看電子書

看紙質(zhì)書

合計

青壯年

中老年

合計

附:(其中).

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直,,的中點.,.

1)求證:平面;

2)求證:平面平面;

3)求多面體的體積.

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