Question

動圓M過定點A(－，0)，且與定圓A´：(x－)²＋y²＝12相切．

(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)過點P(0，2)的直線l與軌跡C交于不同的兩點E、F，求的取值范圍．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：(1)A´(，0)，依題意有|MA´|＋＝2

|MA´|＋|MA|
＝2 ＞2              3分
∴點M的軌跡是以A´、A為焦點，2為長軸上的橢圓，∵a＝，c＝  ∴b²＝1．因此點M的軌跡方程為          5分
(2) 解：設l的方程為x＝k(y－2)代入，消去x得：(k²＋3) y²－4k²y＋4k²－3＝0
由△＞0得16k⁴－(4k²－3)(k²＋3)＞0 0≤k²＜1        7分
設E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)，
則y₁＋y₂＝，y₁y₂＝
又＝(x₁，y₁－2)，＝(x₂，y₂－2)
∴·＝x₁x₂＋(y₁－2)(y₂－2)
＝k(y₁－2)·k (y₂－2) ＋(y₁－2)(y₂－2)
＝(1＋k²)
＝                     10分
∵0≤k²＜1 ∴3≤k²＋3＜4 ∴·∈          12分
點評：求軌跡方程大體步驟：1建立坐標系，設出所求點，2，找到動點滿足的關系，3關系式坐標化整理化簡，4去除不滿足要求的點