Question

【題目】已知函數(shù)，其中，．是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求曲線在處的切線方程為，求實數(shù)，的值；

（2）①若時，函數(shù)既有極大值又有極小值，求實數(shù)的取值范圍；

②若，，若對一切正實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍（用表示）．

Answer 1

【答案】（1），．（2）①，②

【解析】

試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得等量關(guān)系，再根據(jù)切點既在切線上也在曲線上得，解方程組得實數(shù)，的值（2）①先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得，轉(zhuǎn)化為方程有兩個零點，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律：上減，上減增，即時取最小值，因此，最后列表分析證明，②先化簡不等式，再探求實數(shù)的取值范圍：取得．由于，，所以，因此時不等式恒成立

試題解析：（1）由題意知曲線過點，且；

又因為，

則有解得，．

（2）①當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，

若時，得，

設(shè)（），

由，得，．

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，；

僅當(dāng)時，有兩個不同的解，設(shè)為，（）．

		極大值		極小值

此時，函數(shù)既有極大值又有極小值．

②由題意對一切正實數(shù)恒成立，

取得．

下證對一切正實數(shù)恒成立．

首先，證明，設(shè)函數(shù)，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；得，即，

當(dāng)且僅當(dāng)都在處取到等號．

再證，設(shè)，則，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；得，即，

當(dāng)且僅當(dāng)都在處取到等號．

由上可得，所以，

所以．