Question

【題目】已知，

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，在其公共點(diǎn)處切線(xiàn)相同，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）記，若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：；增區(qū)間為：（2）（3）a>e

【解析】

（1）根據(jù)，求導(dǎo)，由求減區(qū)間，由求增區(qū)間.

（2）由，求導(dǎo)，根據(jù)，在其公共點(diǎn)處切線(xiàn)相同，由求解.

（3）易得，x>0.，求導(dǎo)，令得，，然后分a≤0和a>0兩種情況討論求解.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

得x=-1，

當(dāng)x<-1時(shí)，；當(dāng)x>-1時(shí)，.

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：；增區(qū)間為：.

（2）由，.

因?yàn)辄c(diǎn)為函數(shù)的公共點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)相同，

所以，且.

所以，

即，

顯然a≠0，所以.

設(shè)，由得，在上是單調(diào)增函數(shù)，

又，所以.

（3）由得，，x>0.

則，

令得，.

設(shè)，由（1）知，在上是單調(diào)增函數(shù).

1°當(dāng)a≤0時(shí)，由x>0得，，

所以，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，至多1個(gè)零點(diǎn)，不符，舍去.

2°當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)?/span>，，

由零點(diǎn)存在性定理，，在上是單調(diào)增函數(shù)且連續(xù)，

所以存在唯一，使得，即.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>存在兩個(gè)零點(diǎn)，

所以，即，從而.

所以.

因?yàn)?/span>在上是單調(diào)增函數(shù)，

且，所以，

由（1）可知，在是單調(diào)遞增，

所以.

又，，

而，易得，，

所以，

由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).

所以a>e.