【題目】證明下列不等式:
(1)設(shè)a,b,c∈R* , 且滿足條件a+b+c=1,證明: ≥9
(2)已知a≥0,證明: < .
【答案】
(1)證明:∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
∴ =(a+b+c)( )=3+( + )+( + )+( )≥3+2+2+2=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”)(證畢).
(2)證明:要證明 < ,
只要證明( )2<( )2,
只要證明a(a+3)<(a+2)(a+1),
只要證明0<2,顯然成立,
故原不等式成立
【解析】(1)依題意,可得 =(a+b+c)( )=3+( + )+( + )+( ),利用基本不等式即可證得結(jié)論;(2)利用分析法證明即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的不等式的證明,需要了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于平面向量 , , ,有下列三個命題:
①若 = ,則 = 、
②若 =(1,k), =(﹣2,6), ∥ ,則k=﹣3.
③非零向量 和 滿足| |=| |=| ﹣ |,則 與 + 的夾角為60°.
其中真命題的序號為 . (寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)﹣ ,則使得f(x)>f(2x﹣1)成立的取值范圍是( )
A.(﹣∞, )∪(1,+∞)
B.( ,1)
C.( )
D.(﹣∞,﹣ ,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的圖象上的每一點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的一半,再將圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù)y=sinx的圖象.
(1)直接寫出f(x)的表達式,并求出f(x)在[0,π]上的值域;
(2)求出f(x)在[0,π]上的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C,所對的邊分別為a,b,c.已知sinA+sinC=psinB(p∈R).且ac= b2 .
(Ⅰ)當(dāng)p= ,b=1時,求a,c的值;
(Ⅱ)若角B為銳角,求p的取值范圍.
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【題目】已知曲線: , : (),從上的點作軸的垂線,交于點,再從點作軸的垂線,交于點.設(shè), , .
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)記,數(shù)列的前項和為,求證: ;
(Ⅲ)若已知(),記數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(Ⅰ)證明:CD⊥AE;
(Ⅱ)證明:PD⊥平面ABE;
(Ⅲ)求二面角A﹣PD﹣C的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得在上恒成立?若存在,求出的最大值并給出推導(dǎo)過程,若不存在,說明理由.
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