Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得在上恒成立？若存在，求出的最大值并給出推導過程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）求出， ， ，利用導數(shù)的幾何意義以及點斜式可得曲線在點處的切線方程；（II）先根據(jù)時，可得，所以若存在，則正整數(shù)的值只能取， ， 時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明不等式恒成立，從而可得的最大值.

試題解析：（Ⅰ）依題意

則， ，

故所求切線方程為.

（Ⅱ）依題意， ，故，

故對一切恒成立，

當時，可得，所以若存在，則正整數(shù)的值只能取， .

下面證明當時，不等式恒成立，

設，則，

易知（），當時， ；當時， .

即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以，

當時，不等式恒成立，所以的最大值是.

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.