【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）經(jīng)過點（ ，﹣ ），且橢圓的離心率e= ．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點A，C及B，D，設(shè)線段AC，BD的中點分別為P，Q．求證：直線PQ恒過一個定點．

【答案】
（1）解：由 ，得 ，

即a2=4c2=4（a2﹣b2），即3a2=4b2． …

由橢圓過點 知， ． …

聯(lián)立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3． …

故橢圓的方程是 ．…


（2）證明：直線PQ恒過一個定點 ．…

橢圓的右焦點為F（1，0），分兩種情況．

1°當直線AC的斜率不存在時，

AC：x=1，則 BD：y=0．由橢圓的通徑得P（1，0），

又Q（0，0），此時直線PQ恒過一個定點 ．…

2°當直線AC的斜率存在時，設(shè)AC：y=k（x﹣1）（k≠0），

則 BD： ．

又設(shè)點A（x1，y1），C（x2，y2）．

聯(lián)立方程組 ，

消去y并化簡得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…

所以 ． ． ．…

由題知，直線BD的斜率為﹣ ，

同理可得點 ．…

．

，…

即4yk2+（7x﹣4）k﹣4y=0．

令4y=0，7x﹣4=0，﹣4y=0，解得 ．

故直線PQ恒過一個定點 ；…

綜上可知，直線PQ恒過一個定點 ．…


【解析】（1）由離心率可得a與c的關(guān)系，過點可得a與b的關(guān)系，再根據(jù)，即可得出橢圓方程；（2）當斜率不存在時，得出此時過定點，當斜率存在時，根據(jù)點斜式設(shè)出兩相互垂直的直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理可得P、Q的坐標，再得出PQ所在直線方程，經(jīng)檢驗PQ過點。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)全集U=R，集合M={x|x2+x﹣2＞0}， ，則（UM）∩N=（　�。�
A.[﹣2，0]
B.[﹣2，1]
C.[0，1]
D.[0，2]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】各項為正的數(shù)列{an}滿足 ，
（1）當λ=an+1時，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求其公比；
（2）當λ=2時，令 ，記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn ， 數(shù)列{bn}的前n項之積為Tn ， 求證：對任意正整數(shù)n，2n+1Tn+Sn為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的右準線的方程為x= ，左、右兩個焦點分別為F1（ ），F(xiàn)2（ ）．

（1）求橢圓E的方程；
（2）過F1 ， F2兩點分別作兩條平行直線F1C和F2B交橢圓E于C，B兩點（C，B均在x軸上方），且F1C+F2B等于橢圓E的短軸的長，求直線F1C的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在[0，1]上的函數(shù)滿足：①f（0）=f（1）=0，②對于所有x，y∈[0，1]且x≠y有|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．若當所有的x，y∈[0，1]時，|f（x）﹣f（y）|＜k，則k的最小值為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，則其導函數(shù)f′（x）的圖象大致是（　　）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）求證： ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著“全面二孩”政策推行，我市將迎來生育高峰．今年新春伊始，泉城各醫(yī)院產(chǎn)科就已經(jīng)是一片忙碌至今熱度不減．衛(wèi)生部門進行調(diào)查統(tǒng)計期間發(fā)現(xiàn)各醫(yī)院的新生兒中，不少都是“二孩”；在市第一醫(yī)院，共有40個猴寶寶降生，其中10個是“二孩”寶寶；
（Ⅰ）從兩個醫(yī)院當前出生的所有寶寶中按分層抽樣方法抽取7個寶寶做健康咨詢，
①在市第一醫(yī)院出生的一孩寶寶中抽取多少個？
②若從7個寶寶中抽取兩個寶寶進行體檢，求這兩個寶寶恰出生不同醫(yī)院且均屬“二孩”的概率；
（II）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有85%的把握認為一孩或二孩寶寶的出生與醫(yī)院有關(guān)？

P（k≥k市）

0.40

0.25

0.15

0.10

k市

0.708

1.323

2.072

2.706

K2= ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=|x+3|+|x﹣1|，其最小值為t．
（1）求t的值；
（2）若正實數(shù)a，b滿足a+b=4，求證 ．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案