Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣a

∴a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R上單調遞增．

a＞0時，x∈（﹣∞，lna）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0時，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0

即a﹣alna﹣1≥0，記g（a）=a﹣alna﹣1（a＞0），∵g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna，∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上遞減，∴g（a）≤g（1）=0

故g（a）=0，得a=1

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞﹣1），則x＞0時，ln（1+x）＜x

要證原不等式成立，只需證： ＜2，即證： ＜1，

下證 ≤ ﹣ ①

≤

4（32k﹣23k+1）≥332k﹣43k+1

32k﹣43k+3≥0（3k﹣1）（3k﹣3）≥0，

①中令k=1，2，…，n，各式相加，

得 ＜（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）

= ﹣ ＜1成立，

故原不等式成立．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意先求出函數(shù)的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，進而得到導函數(shù)在各個區(qū)間的正負即可求出函數(shù)的單調區(qū)間。
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中單調性可得f(x)的極小值，由可知該極小值大于等于零，即可得a的值。
（Ⅲ）根據(jù)已知提供的函數(shù)化為不等式中的元素形式即,根據(jù)（Ⅱ）可知ex≥x+1，即得ln（1+x）＜x，由不等式的放縮法可得不等式的左邊為),因為分母次數(shù)恰為分子的二倍，將和式放縮為錯位相消的形式，進而可知放縮為,由此可得證原不等式成立。

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．