【題目】已知函數(shù) =(2sinx,cosx+sinx), =(cosx,cosx﹣sinx),f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)﹣m=0(m∈R)在區(qū)間(0, )內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 , x2 , 記t=mcos(x1+x2),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意得,f(x)= =2sinxcosx+cos2x﹣sin2x
=cos2x+sin2x= ,
由 得,
由 得,
,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,
單調(diào)遞減區(qū)間是 ,
(2)解:方程f(x)﹣m=0(m∈R)在(0, )內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,
轉(zhuǎn)化為直線y=m與曲線f(x)= 在(0, )內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
當(dāng)x∈(0, )時(shí),由(Ⅰ)知,f(x)在(0, )上遞增,在[ ,) 上遞減,
∴當(dāng)x= 時(shí),f(x)取到最大值f( )= = ,
又f(0)= =1,f( )= =﹣1,
∴m∈(1, ),
∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱,
∴x1+x2=2× = ,則cos(x1+x2)= ,
又t=mcos(x1+x2),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( ,1).
【解析】(1)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算、二倍角公式,兩角和的正弦公式化簡解析式,由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)先將方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題,由x的范圍和(1)求出f(x)單調(diào)區(qū)間,端點(diǎn)處的函數(shù)值、最大值,結(jié)合條件求出m的范圍,由正弦函數(shù)圖象的對稱性求出x1+x2 , 即可實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】集合A={x|1≤x≤5},B={x|2≤x≤6},
(1)若x∈A,y∈B且均為整數(shù),求x>y的概率.
(2)若x∈A,y∈B且均為實(shí)數(shù),求x>y的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】命題p: =1表示雙曲線方程,命題q:函數(shù)f(m)= 有意義.若p∨q為真,p∧q為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)是否存在常數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失。M分為100分).
(1)求圖中的值;
(2)估計(jì)該次考試的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值代表);
(3)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)?
(參考公式: ,其中)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
(Ⅰ)如圖,以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù),求圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程;
(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為 (s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),若l與C相交于A,B兩點(diǎn),求AB的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作兩直線分別交圓于A,B兩點(diǎn),且∠APB=60°,則|PA|2+|PB|2的取值范圍為___.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時(shí)是否讀營養(yǎng)說明,得到如下列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計(jì) | |
讀營養(yǎng)說明 | 16 | 8 | 24 |
不讀營養(yǎng)說明 | 4 | 12 | 16 |
總計(jì) | 20 | 20 | 40 |
(1)根據(jù)以上列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系?
(2)從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學(xué)生中,隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求抽到男生人數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).
(注: ,其中為樣本容量)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:
(1)AP∥平面BDM;
(2)AP∥GH.
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