【題目】已知函數(shù) =(2sinx,cosx+sinx), =(cosx,cosx﹣sinx),f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)﹣m=0(m∈R)在區(qū)間(0, )內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 , x2 , 記t=mcos(x1+x2),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意得,f(x)= =2sinxcosx+cos2x﹣sin2x

=cos2x+sin2x= ,

得,

得,

,

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,

單調(diào)遞減區(qū)間是 ,


(2)解:方程f(x)﹣m=0(m∈R)在(0, )內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,

轉(zhuǎn)化為直線y=m與曲線f(x)= 在(0, )內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

當(dāng)x∈(0, )時(shí),由(Ⅰ)知,f(x)在(0, )上遞增,在[ ,) 上遞減,

∴當(dāng)x= 時(shí),f(x)取到最大值f( )= = ,

又f(0)= =1,f( )= =﹣1,

∴m∈(1, ),

∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱,

∴x1+x2=2× = ,則cos(x1+x2)= ,

又t=mcos(x1+x2),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( ,1).


【解析】(1)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算、二倍角公式,兩角和的正弦公式化簡解析式,由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)先將方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題,由x的范圍和(1)求出f(x)單調(diào)區(qū)間,端點(diǎn)處的函數(shù)值、最大值,結(jié)合條件求出m的范圍,由正弦函數(shù)圖象的對稱性求出x1+x2 , 即可實(shí)數(shù)t的取值范圍.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】集合A={x|1≤x≤5},B={x|2≤x≤6},
(1)若x∈A,y∈B且均為整數(shù),求x>y的概率.
(2)若x∈A,y∈B且均為實(shí)數(shù),求x>y的概率.

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【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

(I)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;

(II)是否存在常數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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【題目】某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失。M分為100分).

(1)求圖中的值;

(2)估計(jì)該次考試的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值代表);

(3)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)?

(參考公式: ,其中

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

(Ⅰ)如圖,以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù),求圓x2y2x=0的參數(shù)方程;

(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為 (s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),若lC相交于A,B兩點(diǎn),求AB的長.

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【題目】隨機(jī)詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時(shí)是否讀營養(yǎng)說明,得到如下列聯(lián)表:

總計(jì)

讀營養(yǎng)說明

16

8

24

不讀營養(yǎng)說明

4

12

16

總計(jì)

20

20

40

(1)根據(jù)以上列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系?

(2)從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學(xué)生中,隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求抽到男生人數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).

(注: ,其中為樣本容量)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:

(1)AP∥平面BDM;
(2)AP∥GH.

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