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已知是橢圓上兩點，點的坐標為.
（1）當關于點對稱時，求證：；
（2）當直線經過點時，求證：不可能為等邊三角形.
（1）詳見解析，（2）詳見解析.

試題分析：（1）利用“點代法”求點的坐標關系，在求解過程中證明結論.因為關于點對稱，所以，代入橢圓方程得，兩式相減得，所以（2）本題實質為“弦中點”問題，設中點為，由“點差法”得又假設為等邊三角形時，有所以這與弦中點在橢圓內部矛盾，所以假設不成立.
試題解析：（1）證明：
因為在橢圓上，
所以                 1分
因為關于點對稱，
所以，                2分
將代入②得③，
由①和③消解得，                     4分
所以.                     5分
（2）當直線斜率不存在時，，
可得，不是等邊三角形.           6分
當直線斜率存在時，顯然斜率不為0.
設直線：，中點為，
聯(lián)立消去得，         7分

由，得到①                 8分
又,
所以，
所以                     10分
假設為等邊三角形，則有，
又因為，
所以，即，          11分
化簡，解得或       12分
這與①式矛盾，所以假設不成立.
因此對于任意不能使得,故不能為等邊三角形.      14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(理)已知點是平面直角坐標系上的一個動點，點到直線的距離等于點到點的距離的2倍．記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個不同點，若直線不過點，設直線的斜率分別為，求的數值；
(3)試問：是否存在一個定圓，與以動點為圓心，以為半徑的圓相內切？若存在，求出這個定圓的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點，證明：點在一個定圓上.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比為，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M(m,0)在橢圓C的長軸上，設點P是橢圓上的任意一點，若當最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數m的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：()的短軸長為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程
（2）若過點M（2,0）的引斜率為的直線與橢圓C相交于兩點G、H，設P為橢圓C上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數的取值范圍？

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的焦距為2，且過點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右焦點分別為，，過點的直線與橢圓C交于兩點.
①當直線的傾斜角為時，求的長；
②求的內切圓的面積的最大值，并求出當的內切圓的面積取最大值時直線的方程.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓的焦點分別為，弦過點，則的周長為
A．B．C．8D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設F1，F2是橢圓=1的左、右兩個焦點，若橢圓上滿足PF1⊥PF2的點P有且只有兩個，則離心率e的值為（   ）
A．B．C．D．.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設橢圓的兩個焦點分別為，點在橢圓上，且，，則該橢圓的離心率為          ．

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