Question

【題目】定義：對(duì)于任意，滿足條件且是與無(wú)關(guān)的常數(shù)的無(wú)窮數(shù)列稱為數(shù)列．

（1）若，證明：數(shù)列是數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，且數(shù)列是數(shù)列，求常數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)數(shù)列，問(wèn)數(shù)列是否是數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)數(shù)列是T數(shù)列；當(dāng)時(shí)數(shù)列不是T數(shù)列，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)，求出，根據(jù)題中條件，即可判斷出結(jié)果；

（2）先作差得到，判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)果；

（3）分，，三種情況，根據(jù)數(shù)列需要滿足的條件，分別求解，即可得出結(jié)果.

（1）由，得

，

所以數(shù)列滿足，又，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，即．

綜上，數(shù)列是數(shù)列

（2）因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減；故數(shù)列的最大項(xiàng)是，

所以，的取值范圍是

（3）①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

由得，

即當(dāng)時(shí)符合條件若，則，此時(shí)

于是

又對(duì)于有，所以當(dāng)時(shí)數(shù)列是數(shù)列；

②當(dāng)時(shí)，取則：，

由，所以時(shí)數(shù)列不是數(shù)列

③當(dāng)時(shí)，

取則，

由，所以時(shí)數(shù)列不是數(shù)列

綜上：當(dāng)時(shí)數(shù)列是數(shù)列；當(dāng)時(shí)數(shù)列不是數(shù)列