【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線:交拋物線兩點(diǎn),

(1)若的中點(diǎn)為,直線的斜率為,證明:為定值;

(2)求面積的最大值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與拋物線方程可得:x1+x2=4k,即可求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為T(2k,1),問題得證。

(2)由弦長公式得:,再求得點(diǎn)M到直線距離為,由(1)可得,即可得,記:,令,則,利用導(dǎo)數(shù)即可求得,問題得解。

(1)證明:聯(lián)立,消去y得,x2-4kx-4b=0,

△=16k2+16b>0,即k2+b>0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理得x1+x2=4k,x1x2=-4b,

因?yàn)閨AF|+|BF|=4,

由拋物線定義得y1+1+y2+1=4,得y1+y2=2,

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為T(2k,1),

所以

所以

(2)由(1)得|x1-x2|2=(x1+x22-4x1x2=16(k2+b),

設(shè)點(diǎn)M到直線距離為d,

而由(1)知,y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b=4k2+2b=2,

即2k2+b=1,即b=1-2k2

由△=16k2+16b>0,得0<k2<1,

所以

,

記:

令t=k2,0<t<1,則

f(t)=(1+t)2(1-t)=1+t-t2-t3,0<t<1,

f'(t)=1-2t-3t2=(t+1)(-3t+1),

當(dāng)時(shí),f'(t)>0,f(t)為增函數(shù);

當(dāng)時(shí),f'(t)<0,f(t)為減函數(shù);

當(dāng),,

所以,S△ABM的最大值為

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(1)求證:;

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(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;

(2)若是曲線上的動(dòng)點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

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A. B. C. D.

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