【題目】如圖所示的多面體中,四邊形為菱形,且,為的中點.
(1)求證:平面;
(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)連結BD,交AC于M,連結FM,MG,證明即可解決問題。
(2)建立空間直角坐標系,求得平面的一個法向量及,利用空間向量夾角公式即可求得直線EC與平面ACF所成角的正弦值,問題得解
證明:(1)連結BD,交AC于M,連結FM,MG,
因為BC=AD=2EF,EF∥BC,BC∥AD,所以,
在△ACD中,M,G分別為AC,CD的中點,所以,
所以,所以四邊形EFMG是平行四邊形,
所以EG∥FM,
又因為FM平面ACF,EC平面ACF,所以EG∥平面ACF.
(2)取AB的中點O,連結FO,OC,
因為AF=BF=BC,∠ABC=60°,四邊形ABCD為菱形,所以FO⊥AB,OC⊥AB,
因為平面ABF⊥平面ABCD,所以FO⊥平面ABCD,
故以O為原點,,,分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標系,設AF=BF=BC=2EF=2.
則A(-1,0,0),C(0,,0),F(xiàn)(0,0,),E(,,),=(1,,0),
,,
設=是平面ACF的一個法向量,
則,,
令y=z=1,則,故=(,1,1),
設直線EC與平面ACF所成角為,
則,
所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過點的橢圓的離心率為,橢圓與軸交于兩點、,過點的直線與橢圓交于另一點,并與軸交于點,直線與直線交于點.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)當點異于點時,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在下列三個正方體中,均為所在棱的中點,過作正方體的截面.在各正方體中,直線與平面的位置關系描述正確的是
A. 平面的有且只有①;平面的有且只有②③
B. 平面的有且只有②;平面的有且只有①
C. .平面的有且只有①;平面的有且只有②
D. 平面的有且只有②;平面的有且只有③
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【題目】如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的體積為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集為{x|-2≤x≤6}.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)設g(x)=f(x)+f(x+3),若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,E是PC的中點,底面ABCD為矩形,AB=4,AD=2,PA=PD,且平面PAD⊥平面ABCD,平面ABE與棱PD交于點F.
(1)求證:EF∥平面PAB;
(2)若PB與平面ABCD所成角的正弦值為,求二面角P-AE-B的余弦值.
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【題目】2017年5月,來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國的“新四大發(fā)明”:高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購.乘坐高鐵可以網(wǎng)絡購票,為了研究網(wǎng)絡購票人群的年齡分布情況,在5月31日重慶到成都高鐵9600名網(wǎng)絡購票的乘客中隨機抽取了120人進行了統(tǒng)計并記錄,按年齡段將數(shù)據(jù)分成6組:,得到如圖所示的直方圖:
(1)若從總體的9600名網(wǎng)絡購票乘客中隨機抽取一人,估計其年齡大于35歲的概率;
(2)試估計總體中年齡在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);
(3)試通過直方圖,估計5月31日當天網(wǎng)絡購票的9600名乘客年齡的中位數(shù).
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