Question

【題目】如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．

（Ⅰ）求證：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直線上的一點(diǎn)，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值為 ，求CE的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，

在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，

由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BCCC1cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，

所以B1C= ，

故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，

又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BC，BA，BC1所在直線

為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，則B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0， ），B1（﹣1，0， ）

， ，令 ，∴ ，

，

設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為 ．

，令z= ，則x= ，y= ，

∴ ，．∵AB⊥平面BB1C1C， 是平面的一個(gè)法向量，

|cos＜ ＞|= ，兩邊平方并化簡得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或 ．

∴CE=CC1=2或CE= CC1=3．

【解析】（Ⅰ）證直線垂直于平面，通過證明平面內(nèi)有兩條相交的直線與所給直線垂直；（Ⅱ）利用向量求二面角的平面角思路比較簡單清晰，但是計(jì)算時(shí)需要認(rèn)真并有良好的運(yùn)算習(xí)慣.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．