Question

【題目】如圖所示的多面體是由一個(gè)直平行六面體被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．

（1）求證：BD⊥平面ADG；
（2）求直線GB與平面AEFG所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°．

由余弦定理BD2=AD2+AB2﹣2ABADcos60°， ，

∵AB2=AD2+DB2，

∴AD⊥DB，

在直平行六面體中，GD⊥平面ABCD，DB平面ABCD，∴GD⊥DB，

又AD∩GD=D，

∴BD⊥平面ADG．

（2）解：如圖以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，

∴A（1，0，0）， ， ，G（0，0，1）， ， ， ，

設(shè)平面AEFG的法向量 ， 令x=1，得 ，z=1，

∴ ，

設(shè)直線GB和平面AEFG的夾角為θ，

∴ ，

所以直線GB與平面AEFG所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）求一條直線垂直于一個(gè)平面，證明這條直線與這個(gè)平面內(nèi)相交的兩條直線垂直即可；（2）先根據(jù)圖形特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面AEFG的法向量，最終求得直線GB與平面AEFG所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則即可以解答此題．