Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，E為BD中點(diǎn)，且AE⊥平面BCD，F(xiàn)為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，記 ．

（1）當(dāng) 時(shí)，求異面直線(xiàn)DF與BC所成角的余弦值；
（2）當(dāng)CF與平面ACD所成角的正弦值為 時(shí)，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結(jié)CE，以EB、EC、EA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0， ），B（1，0，0），C（0， ，0），D（﹣1，0，0），

∵F是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，且 =λ，

則 = =（﹣ ），∴F（1﹣λ，0， ），

當(dāng) 時(shí)，F(xiàn)（ ）， =（ ）， =（1，﹣ ，0），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴異面直線(xiàn)DF與BC所成角的余弦值為 ．

（2） =（1﹣ ）， =（1，0， ）， =（1， ，0），

設(shè)平面ACD的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ），

∵CF與平面ACD所成角的正弦值為 ，

∴|cos＜ ＞|= = ，

解得 或λ=2（舍），

∴λ=2．

【解析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示直線(xiàn)DF與BC的方向向量，再求得兩異面直線(xiàn)的夾角；（2）CF與平面ACD所成角的正弦值等于CF與平面ACD法向量所成角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】利用異面直線(xiàn)及其所成的角和空間角的異面直線(xiàn)所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線(xiàn)所成角的求法：1、平移法：在異面直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線(xiàn)；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線(xiàn)間的關(guān)系；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．