Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣a+lnx．
（Ⅰ）若a=1，求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞2x﹣1；
（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0 ， 求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：a=1時(shí)， ，

設(shè) ，g'（x）在（1，+∞）遞增，又g'（1）=0，∴x＞1時(shí)g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）遞增，

x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，即ex+lnx﹣2x+1＞0，

x＞1時(shí)，ex+lnx＞2x﹣1，即f（x）＞2x﹣1…．

（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即

即存在x0≥e，使 ．

設(shè) （x≥e），則 ，

設(shè) ， 在[e，+∞）遞增，

，所以u(píng)＞0在[e，+∞）恒成立，h'（x）＞0在[e，+∞）恒成立，

所以h（x）在[e，+∞）遞增，所以x≥e時(shí)， ，

需ea＞eea＞e…．

【解析】（1）a=1時(shí)，化簡(jiǎn)求出導(dǎo)數(shù)，設(shè),,然后求解二次導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的最值，然后證明結(jié)論；（2）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即,即存在,使,設(shè),求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果,
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．