【題目】定義:從數(shù)列{an}中抽取mmN,m≥3)項按其在{an}中的次序排列形成一個新數(shù)列{bn},則稱{bn}{an}的子數(shù)列;若{bn}成等差(或等比),則稱{bn}{an}的等差(或等比)子數(shù)列.

1)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知

①求數(shù)列{an}的通項公式;

②數(shù)列{an}是否存在等差子數(shù)列,若存在,求出等差子數(shù)列;若不存在,請說明理由.

2)已知數(shù)列{an}的通項公式為ann+aaQ+),證明:{an}存在等比子數(shù)列.

【答案】1)①.②不存在等差子數(shù)列.見解析(2)見解析

【解析】

1)①根據(jù),當n1時,,當n≥2時,得到,兩式相減即可.②假設(shè)從數(shù)列{an}中抽3ak,al,amklm)成等差,利用等差中項則2alak+am,即2×2l12k1+2m1

化簡得:2×2lk1+2mk.再利用奇偶數(shù)判斷.如果從數(shù)列{an}中抽mmN,m≥4)項,其前三項必成等差數(shù)列,不成立得證.

2)假設(shè)數(shù)列{an}中存在3n0+a,n0+a+k,n0+a+lkl)成等比.設(shè)n0+ab,則bQ+,故可設(shè)pq是互質(zhì)的正整數(shù)).根據(jù)等比中項,有,即.取kq,則l2k+pq.再論證(b+k2=bb+l)是否成立即可.

1)①因為,所以當n1時,,

n≥2時,,所以

綜上可知:

②假設(shè)從數(shù)列{an}中抽3akal,amklm)成等差,

2alak+am,即2×2l12k1+2m1

化簡得:2×2lk1+2mk

因為klm,所以lk0,mk0,且lk,mk都是整數(shù),

所以2×2lk為偶數(shù),1+2mk為奇數(shù),所以2×2lk1+2mk不成立.

因此,數(shù)列{an}不存在三項等差子數(shù)列.

若從數(shù)列{an}中抽mmN,m≥4)項,其前三項必成等差數(shù)列,不成立.

綜上可知,數(shù)列{an}不存在等差子數(shù)列.

2)假設(shè)數(shù)列{an}中存在3n0+an0+a+k,n0+a+lkl)成等比.

設(shè)n0+ab,則bQ+,故可設(shè)pq是互質(zhì)的正整數(shù)).

則需滿足,

即需滿足(b+k2bb+l),則需滿足

kq,則l2k+pq

此時,

故此時(b+k2bb+l)成立.

因此數(shù)列{an}中存在3n0+a,n0+a+k,n0+a+lkl)成等比,

所以數(shù)列{an}存在等比子數(shù)列.

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