【題目】已知函數(shù)f(x)=axlnx﹣x2﹣ax+1(a∈R)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)兩個極值點(diǎn)分別為x1,x2,x1<x2,證明:f(x1)+f(x2)<2﹣x12+x22.
【答案】(1)a>2e(2)證明見解析
【解析】
(1)先對函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系對a進(jìn)行分類討論,確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可求解函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性即可求解;
(2)分析要證明不等式特點(diǎn),進(jìn)行合理的變形,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可證.
(1)由題意可知,f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=alnx﹣2x,
令g(x)=alnx﹣2x(x>0),
由函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn),可知g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有兩個不同的變號零點(diǎn),
由可知,
當(dāng)a≤0時,g'(x)<0恒成立,即函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào),不符合題意,舍去.
當(dāng)a>0時,由g'(x)>0得,,即函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
由g'(x)<0得,,即函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
故要滿足題意,必有,
解得:a>2e;
又,∴函數(shù)g(x)在(1,)內(nèi)有一個零點(diǎn),
又當(dāng)時,g(x),∴在()內(nèi)有一個零點(diǎn),
∴a>2e滿足題意.
(2)由(1)可知,,
故要證:,
只需證明:,
即證:不妨設(shè)0<x1<x2,即證,
構(gòu)造函數(shù):h(t)=lnt﹣t2+1(t>1)其中,
由,所以函數(shù)h(t)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以h(t)<h(1)=0得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn).
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長;
(2)動點(diǎn)P在圓C上(不與A,B重合),試求△ABP的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在貫徹中共中央國務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過程中,某單位定點(diǎn)幫扶100戶貧困戶.工作組對這100戶村民的貧困狀況和家庭成員受教育情況進(jìn)行了調(diào)查:甲村55戶貧困村民中,家庭成員接受過中等及以上教育的只有10戶,乙村45戶貧困村民中,家庭成員接受過中等及以上教育的有20戶.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為貧困與接受教育情況有關(guān);
家庭成員接受過中等以下 教育的戶數(shù) | 家庭成員接受過中等及以上 教育的戶數(shù) | 合計 | |
甲村貧困戶數(shù) | |||
乙村貧困戶數(shù) | |||
合計 |
(2)在被幫扶的100戶貧困戶中,按分層抽樣的方法從家庭成員接受過中等及以上教育的貧困戶中抽取6戶,再從這6戶中采用簡單隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取2戶,求這2戶中甲、乙兩村恰好各1戶的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):,其中.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究某學(xué)科成績是否與學(xué)生性別有關(guān),采用分層抽樣的方法,從高三年級抽取了30名男生和20名女生的該學(xué)科成績,得到如下所示男生成績的頻率分布直方圖和女生成績的莖葉圖,規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分).
(Ⅰ)(i)請根據(jù)圖示,將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
優(yōu)分 | 非優(yōu)分 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 | 50 |
(ii)據(jù)此列聯(lián)表判斷,能否在犯錯誤概率不超過10%的前提下認(rèn)為“該學(xué)科成績與性別有關(guān)”?
(Ⅱ)將頻率視作概率,從高三年級該學(xué)科成績中任意抽取3名學(xué)生的成績,求至少2名學(xué)生的成績?yōu)閮?yōu)分的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù),使得任意的成立,則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)分別判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì); (直接寫出結(jié)論)
①
②
(2)若數(shù)列滿足,求證:“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充分必要條件;
(3)已知數(shù)列中且.若數(shù)列具有性質(zhì),求數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近五年來某草場羊只數(shù)量與草場植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示,繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖,如圖所示:
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
羊只數(shù)量(萬只) | 1.4 | 0.9 | 0.75 | 0.6 | 0.3 |
草地植被指數(shù) | 1.1 | 4.3 | 15.6 | 31.3 | 49.7 |
根據(jù)表及圖得到以下判斷:①羊只數(shù)量與草場植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系;②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為,去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為,則;③可以利用回歸直線方程,準(zhǔn)確地得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬只時的草場植被指數(shù);以上判斷中正確的個數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|+|2x+2|,g(x)=|x+2|﹣|x﹣2a|+a.
(1)求不等式f(x)>4的解集;
(2)對x1∈R,x2∈R,使得f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場舉行元旦促銷回饋活動,凡購物滿1000元,即可參與抽獎活動,抽獎規(guī)則如下:在一個不透明的口袋中裝有編號為1、2、3、4、5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次(每次摸出的小球均不放回口袋),編號依次作為一個三位數(shù)的個位、十位、百位,若三位數(shù)是奇數(shù),則獎勵50元,若三位數(shù)是偶數(shù),則獎勵元(為三位數(shù)的百位上的數(shù)字,如三位數(shù)為234,則獎勵元).
(1)求抽獎?wù)咴谝淮纬楠勚兴萌粩?shù)是奇數(shù)的概率;
(2)求抽獎?wù)咴谝淮纬楠勚蝎@獎金額的概率分布與期望.
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