【題目】已知矩形,為中點,將至折起,連結(jié).
(1)當時,求證:;
(2)當時,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)由線面垂直的判定定理可證平面,再由線面垂直的性質(zhì)定理可知,進而由線面垂直的判定定理可證平面,最后由線面垂直的性質(zhì)定理可證;
(2)過點作直線平面,以點為原點,分別以所在直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,設,的坐標為,由已知關(guān)系構(gòu)建三元一次方程組求得,再分別計算平面和平面的法向量,最后由數(shù)量積公式求夾角的余弦值即可.
(1)證明:由題意可知,
,平面,平面,所以平面,
又平面,所以,
因為,平面,平面,
所以平面,
又平面.所以.
(2)過點作直線平面,以點為原點,分別以所在直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,設,
則,設點的坐標為,則的坐標為,
①
又 ②,
③
解由①②③構(gòu)成的方程組可得,即點的坐標
進而
設平面的一個法向量為,可得
所以,令,解得,即,
易知,平面的一個法向量,
,
由圖可知,二面角的大小為銳角,
二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:從數(shù)列{an}中抽取m(m∈N,m≥3)項按其在{an}中的次序排列形成一個新數(shù)列{bn},則稱{bn}為{an}的子數(shù)列;若{bn}成等差(或等比),則稱{bn}為{an}的等差(或等比)子數(shù)列.
(1)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知.
①求數(shù)列{an}的通項公式;
②數(shù)列{an}是否存在等差子數(shù)列,若存在,求出等差子數(shù)列;若不存在,請說明理由.
(2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n+a(a∈Q+),證明:{an}存在等比子數(shù)列.
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【題目】已知拋物線的焦點到直線的距離為,過點的直線與交于、兩點.
(1)求拋物線的準線方程;
(2)設直線的斜率為,直線的斜率為,若,且與的交點在拋物線上,求直線的斜率和點的坐標.
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【題目】過正四面體ABCD的頂點A作一個形狀為等腰三角形的截面,且使截面與底面BCD所成的角為,這樣的截面有( )
A.6個B.12個C.16個D.18個
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【題目】已知橢圓,、分別是其左、右焦點,過的直線與橢圓交于兩點,且橢圓的離心率為,的周長等于.
(1)求橢圓的方程;
(2)當時,求直線的方程.
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【題目】2020年寒假是特殊的寒假,因為疫情全體學生只能在家進行網(wǎng)上在線學習,為了研究學生在網(wǎng)上學習的情況,某學校在網(wǎng)上隨機抽取120名學生對線上教育進行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13,其中男生30人對于線上教育滿意,女生中有15名表示對線上教育不滿意.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關(guān)”;
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 | 120 |
(2)從被調(diào)查中對線上教育滿意的學生中,利用分層抽樣抽取8名學生,再在8名學生中抽取3名學生,作線上學習的經(jīng)驗介紹,其中抽取男生的個數(shù)為,求出的分布列及期望值.
參考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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【題目】隨著網(wǎng)上購物的普及,傳統(tǒng)的實體店遭受到了強烈的沖擊,某商場實體店近九年來的純利潤如下表所示:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
時間代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
實體店純利潤(千萬) | 2 | 2.3 | 2.5 | 2.9 | 3 | 2.5 | 2.1 | 1.7 | 1.2 |
根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對和作線性相關(guān)性檢驗,求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.254;根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對和作線性相關(guān)性檢驗,求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.985;
(1)如果要用線性回歸方程預測該商場2019年實體店純利潤,現(xiàn)有兩個方案:
方案一:選取這9年的數(shù)據(jù),進行預測;
方案二:選取后5年的數(shù)據(jù)進行預測.
從生活實際背景以及相關(guān)性檢驗的角度分析,你覺得哪個方案更合適.
附:相關(guān)性檢驗的臨界值表:
小概率 | ||
0.05 | 0.01 | |
3 | 0.878 | 0.959 |
7 | 0.666 | 0.798 |
(2)某機構(gòu)調(diào)研了大量已經(jīng)開店的店主,據(jù)統(tǒng)計,只開網(wǎng)店的占調(diào)查總?cè)藬?shù)的,既開網(wǎng)店又開實體店的占調(diào)查總?cè)藬?shù)的,現(xiàn)以此調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果作為概率,若從上述統(tǒng)計的店主中隨機抽查了5位,求只開實體店的人數(shù)的分布列及期望.
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【題目】在從100到999的所有三位數(shù)中,百位、十位、個位數(shù)字依次構(gòu)成等差數(shù)列的有__________個;構(gòu)成等比數(shù)列的有__________個.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】
已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在處的切線也是拋物線的切線,求的值;
(2)若對于任意恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍;
(3)當時,是否存在,使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等?若存在,求符合條件的的個數(shù);若不存在,請說明理由.
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