Question

【題目】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）．規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)，，并修建兩段直線型道路，，規(guī)劃要求：線段，上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑．已知點(diǎn)，到直線的距離分別為和（，為垂足），測得，，（單位：百米）．

（1）若道路與橋垂直，求道路的長；

（2）在規(guī)劃要求下，和中能否有一個(gè)點(diǎn)選在處？并說明理由；

（3）在規(guī)劃要求下，若道路和的長度均為（單位：百米），求當(dāng)最小時(shí)，、兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2），中不能有點(diǎn)選在點(diǎn)，理由詳見解析；（3）.

【解析】

(1) 設(shè)BD與圓O交于M，連接AM，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，l為x軸，建立直角坐標(biāo)系，利用兩直線垂直的條件得直線BP的方程,求解點(diǎn)P的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)間距離公式即可求解PB的長;

（2）當(dāng)QA⊥AB時(shí)，QA上的所有點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離不小于圓的半徑，設(shè)此時(shí)Q（x2，0），運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求得Q的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)P（a，0），Q（b，0），則，，結(jié)合條件分析，可得b的最小值，由兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算可得PQ．

設(shè)與圓交于，連接，

為圓的直徑，可得，

即有，，，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，.

（1）設(shè)點(diǎn)，，

則，

即，

解得，所以，；

（2）當(dāng)時(shí)，上的所有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于圓的半徑，設(shè)此時(shí)，

則，即，解得，，

由，在此范圍內(nèi)，不能滿足，上所有點(diǎn)到的距離不小于圓的半徑，

所以，中不能有點(diǎn)選在點(diǎn)；

（3）設(shè)，，由（1）（2）可得，，

由兩點(diǎn)的距離公式可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值15，

又，則，當(dāng)最小時(shí)，，，．