Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，
（1）當a=﹣1時，求函數(shù)的最大值和最小值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1時，函數(shù)表達式是f（x）=x2﹣2x+2，

∴函數(shù)圖象的對稱軸為x=1，

在區(qū)間（﹣5，1）上函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間（1，5）上函數(shù)為增函數(shù)．

∴函數(shù)的最小值為[f（x）]min=f（1）=1，

函數(shù)的最大值為f（5）和f（﹣5）中較大的值，比較得[f（x）]max=f（﹣5）=37

綜上所述，得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1

（2）解：∵二次函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=﹣a對稱，開口向上

∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，﹣a]，單調(diào)增區(qū)間是[﹣a，+∞），

由此可得當[﹣5，5]（﹣∞，﹣a]時，

即﹣a≥5時，f（x）在[﹣5，5]上單調(diào)減，解之得a≤﹣5．

即當a≤﹣5時y=f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)減函數(shù)

【解析】（1）當a=﹣1時f（x）=x2﹣2x+2，可得區(qū)間（﹣5，1）上函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間（1，5）上函數(shù)為增函數(shù)．由此可得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1；（2）由題意，得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，﹣a]，由[﹣5，5]（﹣∞，﹣a]，可得﹣a≥5，解出a≤﹣5，即為實數(shù)a的取值范圍．