【題目】為了釋放學(xué)生壓力,某校高三年級(jí)一班進(jìn)行了一個(gè)投籃游戲,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪).在相同的條件下,每輪甲乙兩人站在同一位置上,甲先投,每人投一次籃,兩人有人命中,命中者得分,未命中者得分;兩人都命中或都未命中,兩人均得分.設(shè)甲每次投籃命中的概率為,乙每次投籃命中的概率為,且各次投籃互不影響.
(1)經(jīng)過輪投籃,記甲的得分為,求的分布列及期望;
(2)若經(jīng)過輪投籃,用表示第輪投籃后,甲的累計(jì)得分低于乙的累計(jì)得分的概率.
①求;
②規(guī)定,經(jīng)過計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算可得,請(qǐng)根據(jù)①中值求出的值,并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)見解析,(2)①,,②,.
【解析】
(1)先閱讀題意,可得的可能取值為,然后求出對(duì)應(yīng)的概率,然后求出的分布列及期望即可;
(2)結(jié)合題意求出,然后求出的值,再利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.
解:(1)的可能取值為,
則;
;
.
∴的分布列為:
-1 | 0 | 1 | |
期望.
即經(jīng)過輪投籃,甲得分的期望為分.
(2)①由(1)知,
經(jīng)過兩輪投球,甲的累計(jì)得分低的有兩種情況:
一是甲兩輪都得分為;二是兩輪中甲一輪得分,另一輪得分,則.
經(jīng)過三輪投球,甲累計(jì)得分低有四種情況:;;;,
則;
②將的值分別代入得,
得,.
∴,即,
又,所以是首項(xiàng)、公比都是的等比數(shù)列.
∴,
∴,
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求不等式的解集;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),()(若是函數(shù)的極大值或極小值,則m為函數(shù)的極值點(diǎn),極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)).
①求a的取值范圍;
②證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,分別為的中點(diǎn),為的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)).將沿折起,記折起后點(diǎn)為,連接為上的一點(diǎn),且,連接.
(1)求證:平面;
(2)若,直線與平面所成的角為,當(dāng)最大時(shí),求,并計(jì)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=ex﹣ae﹣x+2sinx滿足,則z=x﹣lny的最小值是( )
A.﹣ln6B.﹣2C.ln6D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱錐中,,二面角、、的大小均為,設(shè)三棱錐的外接球球心為,直線交平面于點(diǎn),則三棱錐的內(nèi)切球半徑為_______________,__________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新《水污染防治法》已由中華人民共和國(guó)第十二屆全國(guó)人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)第二十八次會(huì)議于2017年6月27日通過,自2018年1月1日起施行.2018年3月1日,某縣某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了縣域內(nèi)100眼水井,檢測(cè)其水質(zhì)總體指標(biāo).
羅斯水質(zhì)指數(shù) | 02 | 24 | 46 | 68 | 810 |
水質(zhì)狀況 | 腐敗污水 | 嚴(yán)重污染 | 污染 | 輕度污染 | 純凈 |
(1)求所抽取的100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
(2)①由直方圖可以認(rèn)為,100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在(5.21,5.99)內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽查5眼水井的水質(zhì),記這5眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值位于(6,10)內(nèi)的井?dāng)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:①計(jì)算得所抽查的這100眼水井總體指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;
②若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓.
(Ⅰ)若的一個(gè)焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在上,求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求線段的最小值(用表示).
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