Question

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求不等式的解集；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，()(若是函數(shù)的極大值或極小值，則m為函數(shù)的極值點，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點).

①求a的取值范圍；

②證明：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①；②證明見解析

【解析】

（1）不等式變形為，令，利用導數(shù)研究的單調性，結合，可得不等式的解集；

（2）①求出導函數(shù)，再由的導數(shù)研究的單調性，得的正負，從而得的單調性，由的極小值小于0及零點存在定理可得的范圍，②由極值點定義知是的極大值點，是極小值點，從而有，

設，則為偶函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調性得，從而可證題設結論．

（1）由得

令，∴，令

當時，，遞減；當時，，遞增

∴

注意到，結合單調性知不等式的解集為

（2）

，由題意知有上有兩個不等的實根

令，令

當時，，遞減；當時，，遞增，

∴

要使有兩個零點，則，此時注意到

，∴在和上各有一個零點，滿足題意，故的取值范圍為

②由為的2個極值點，且

∴滿足且由①知

∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增

則是的極大值點，是極小值點

∴

設，則為偶函數(shù)

，

∴在上單調遞增

由時，，∴在上單調遞增

∴，

又為偶函數(shù)，∴，，∴

從而．