【題目】以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線的參數(shù)方程與直線的普通方程；

（2）設點過為曲線上的動點，點和點為直線上的點，且滿足為等邊三角形，求邊長的取值范圍.

【答案】（1）：（為參數(shù)，），：；（2）

【解析】

（1）利用公式即可容易化簡曲線的方程為直角坐標方程，再寫出其參數(shù)方程即可；利用消參即可容易求得直線的普通方程；

（2）設出的坐標的參數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為求點到直線距離的范圍問題，利用三角函數(shù)的值域求解即可容易求得結(jié)果.

（1）曲線的極坐標方程為，

故可得，則，

整理得，也即，

由，則可得，

故其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）；

又直線的參數(shù)方程為，

故可得其普通方程為.

（2）不妨設點的坐標為，

則點到直線的距離

，，

容易知在區(qū)間的值域為，

故可得.

則三角形的邊長為，故其范圍為.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】新中國昂首闊步地走進2019年，迎來了她70歲華誕.某平臺組織了“偉大的復興之路一新中國70周年知識問答”活動，規(guī)則如下：共有30道單選題，每題4個選項中只有一個正確，每答對一題獲得5顆紅星，每答錯一題反扣2顆紅星；若放棄此題，則紅星數(shù)無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品，紅星數(shù)越多獎品等級越高.小強參加該活動，其中有些題目會做，有些題目可以排除若干錯誤選項，其余的題目則完全不會.

（1）請問：對于完全不會的題目，小強應該隨機從4個選項中選一個作答，還是選擇放棄？（利用統(tǒng)計知識說明理由）

（2）若小強有12道題目會做，剩下的題目中，可以排除一個錯誤選項、可以排除兩個錯誤選項和完全不會的題目的數(shù)量比是.請問：小強在本次活動中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少？

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【題目】已知三棱錐的所有棱長都相等，若與平面所成角等于，則平面與平面所成角的正弦值的取值范圍是( )

A.B.

C.D.

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【題目】分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段的長度為a，在線段上取兩個點C、D，使得，以為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖二中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依次類推，我們就得到了以下一系列圖形；

記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為，若對任意的正整數(shù)n，都有．則正數(shù)a的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即“文房四寶”．筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時期，其中的“紙”指的是宣紙，宣紙“始于唐代，產(chǎn)于涇縣”，而唐代涇縣隸屬于宣州府管轄，故因地而得名“宣紙”，宣紙按質(zhì)量等級，可分為正牌和副牌（優(yōu)等品和合格品），某公司年產(chǎn)宣紙10000刀，公司按照某種質(zhì)量標準值x給宣紙確定質(zhì)量等級，如表所示：

x

（48，52]

（44，48]∪（52，56]

（0，44]∪（56，100]

質(zhì)量等級

正牌

副牌

廢品

公司在所生產(chǎn)的宣紙中隨機抽取了一刀（100張）進行檢驗，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知每張正牌紙的利潤是10元，副牌紙的利潤是5元，廢品虧損10元．

（Ⅰ）按正牌、副牌、廢品進行分層抽樣，從這一刀（100張）紙中抽出一個容量為5的樣本，再從這個樣本中隨機抽出兩張，求其中無廢品的概率；

（Ⅱ）試估計該公司生產(chǎn)宣紙的年利潤（單位：萬元）．

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【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作區(qū)間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作.例如：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求不等式的解集；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，()(若是函數(shù)的極大值或極小值，則m為函數(shù)的極值點，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點).

①求a的取值范圍；

②證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形ABCD中，，，E，F分別為AD，AB中點，M為線段BC上的一個動點，現(xiàn)將，，分別沿EC，EF折起，使A，D重合于點P．設PM與平面BCEF所成角為，二面角的平面角為，二面角的平面角為，則（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

(1)若，求函數(shù)的極值；

(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．

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