【題目】已知函數(shù)f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)當a=0時,求函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:a=0時,f(x)=xe2x﹣lnx,
∴ , ,
∴函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
又函數(shù)f′(x)的值域為R,
故x0>0,使得f′(x0)=(2x0+1)e ﹣ =0,
又∵ ,∴ ,∴當x∈[ ]時,f′(x)>0,
即函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ,1]上遞增,∴
(2)解: ,
由(1)知函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且x0>0,使得f′(x0)=0,
進而函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,
﹣lnx0﹣ax0,
由f′(x0)=0,得:(2x0+1)e ﹣ ﹣a=0,
∴ ,∴f(x0)=1﹣lnx0﹣2x02 ,
∵x>0,不等式f(x)≥1恒成立,
∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1,∴l(xiāng)nx0+2x02 ≤0,
設(shè)h(x0)=lnx0+2x e ,則h(x0)為增函數(shù),且有唯一零點,設(shè)為t,
則h(t)=lnt+2t2e2t=0,則﹣lnt=2t2e2t,即 ,
令g(x)=xex,則g(x)單調(diào)遞增,且g(2t)=g( ),
則2t=ln ,即 ,
∵a=(2x0+1) ﹣ 在(0,t]為增函數(shù),
則當x0=t時,a有最大值, = ,
∴a≤2,∴a的取值范圍是(﹣∞,2]
(3)解:由f( )﹣1≥ ,
得 ,
∴xlnx﹣x﹣a≥ ,∴a 對任意x>0成立,
令函數(shù)g(x)=xlnx﹣x﹣ ,∴ ,
當x>1時,g′(x)>0,當0<x<1時,g′(x)<0,
∴當x=1時,函數(shù)g(x)取得最小值g(1)=﹣1﹣ =﹣1﹣ ,
∴a≤﹣1﹣ .
∴a的取值范圍是(﹣∞,﹣1﹣ )
【解析】(1)a=0時, , ,由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值.(2) ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0 , +∞)上遞增,由x>0,不等式f(x)≥1恒成立,得lnx0+2x02 ≤0,由此能求出a的取值范圍.(3)由f( )﹣1≥ ,得a 對任意x>0成立,令函數(shù)g(x)=xlnx﹣x﹣ ,則 ,由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為,若橢圓與圓:相交于M,N兩點,且圓E在橢圓內(nèi)的弧長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的上焦點作兩條相互垂直的直線,分別交橢圓于A,B、C,D,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某河流在一段時間x min內(nèi)流過的水量為y m3,y是x的函數(shù),y=f(x)=.
(1)當x從1變到8時,y關(guān)于x的平均變化率是多少?它代表什么實際意義?
(2)求f′(27)并解釋它的實際意義.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為正三角形,E,F(xiàn)分別是A1C1 , B1C1上的點,且滿足A1E=EC1 , B1F=3FC1 .
(1)求證:平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長均相等,求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.
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【題目】下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A.命題“若xy=0,則x=0”的否命題為:“若xy=0,則x≠0”
B.“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為真命題
C.命題“x∈R,使得2x2﹣1<0”的否定是:“x∈R,均有2x2﹣1<0”
D.命題“若cosx=cosy,則x=y”的逆否命題為真命題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足 ,則使不等式a2016>2017成立的所有正整數(shù)a1的集合為( )
A.{a1|a1≥2017,a1∈N+}
B.{a1|a1≥2016,a1∈N+}
C.{a1|a1≥2015,a1∈N+}
D.{a1|a1≥2014,a1∈N+}
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的一個焦點與拋物線 的焦點相同,F(xiàn)1 , F2為橢圓的左、右焦點.M為橢圓上任意一點,△MF1F2面積的最大值為4 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C上的任意一點N(x0 , y0),從原點O向圓N:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=3作兩條切線,分別交橢圓于A,B兩點.試探究|OA|2+|OB|2是否為定值,若是,求出其值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知點A(0,0),B(4,3),若A,B,C三點按順時針方向排列構(gòu)成等邊三角形ABC,且直線BC與x軸交于點D.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)求點C的坐標.
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