【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)相同，F(xiàn)1 ， F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)．M為橢圓上任意一點(diǎn)，△MF1F2面積的最大值為4 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上的任意一點(diǎn)N（x0 ， y0），從原點(diǎn)O向圓N：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3作兩條切線，分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)．試探究|OA|2+|OB|2是否為定值，若是，求出其值；若不是，請(qǐng)說明理由．

【答案】
（1）

解：拋物線 的焦點(diǎn)為（2 ，0），

由題意可得c=2 ，

△MF1F2面積的最大值為4 ，可得當(dāng)M位于橢圓短軸端點(diǎn)處取得最大值．

即有 b2c=4 ，解得b=2，a2=b2+c2=4+8=12，

則橢圓方程為


（2）

證明：設(shè)直線OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1，y1），B（x2，y2），

設(shè)過原點(diǎn)圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切線方程為y=kx，

則有 = ，整理得（x02﹣3）k2﹣2x0y0k+y02﹣3=0，

即有k1+k2= ，k1k2= ，

又因?yàn)? ，所以可求得k1k2= =﹣ ，

將y=k1x代入橢圓方程x2+3y2=12，

得x12= ，則y12= ，

同理可得x22= ，y22= ，

所以|OA|2+|OB|2= +

=

= =16．

所以|OA|2+|OB|2的值為定值16


【解析】（1）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得c，再由當(dāng)M位于橢圓短軸端點(diǎn)處△MF1F2面積取得最大值．可得b，由a，b，c的關(guān)系求得a，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），設(shè)過原點(diǎn)圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切線方程為y=kx，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，聯(lián)立直線OA、OB方程和橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡整理，即可得到定值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購買的險(xiǎn)種．若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表：

交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素

浮動(dòng)比率

A1

上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

A2

上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮20%

A3

上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

A4

上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

A5

上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮10%

A6

上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：

類型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：
（Ⅰ）按照我國《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定a=950．記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值；（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字）
（Ⅱ）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：
①若該銷售商購進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[ ，1]上的最小值；
（2）若x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍；
（3）若x＞0，不等式f（ ）﹣1≥ e + 恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且向量與的夾角為．

求橢圓的方程；

設(shè)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；

設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且直線BM、BN的斜率之和為1，證明：直線l過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】柴靜《穹頂之下》的播出，讓大家對(duì)霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出下表數(shù)據(jù)：

x

4

5

7

8

y

2

3

5

6

(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測燃放煙花爆竹的天數(shù)為的霧霾天數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正方形與梯形所在平面互相垂直，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn) .

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定圓，定直線，過的一條動(dòng)直線與直線相交于，與圓相交于， 兩點(diǎn)， 是中點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)與垂直時(shí)，求證： 過圓心．

（Ⅱ）當(dāng)，求直線的方程．

（Ⅲ）設(shè)，試問是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出的值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C：和點(diǎn)，P是圓上一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線交CP于M點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡方程為______；若直線l與M點(diǎn)的軌跡相交，且相交弦的中點(diǎn)為，則直線l的方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0 ， h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），若 ＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”．當(dāng)a=4時(shí)，試問y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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