【題目】某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng),分別由李老師和張老師負(fù)責(zé),已知該系共有n位學(xué)生,每次活動(dòng)均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù)),假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生,且所發(fā)信息都能收到,記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為X.
(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率;
(2)求使P(X=m)取得最大值的整數(shù)m.
【答案】
(1)解:因?yàn)槭录嗀:“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B:“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨(dú)立事件,所以 與 相互獨(dú)立,由于P(A)=P(B)= = ,故P( )=P( )=1﹣ ,
因此學(xué)生甲收到活動(dòng)信息的概率是1﹣(1﹣ )2=
(2)解:當(dāng)k=n時(shí),m只能取n,此時(shí)有P(X=m)=P(X=n)=1
當(dāng)k<n時(shí),整數(shù)m滿足k≤m≤t,其中t是2k和n中的較小者,由于“李老師與張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)送活動(dòng)信息給k位”所包含的基本事件總數(shù)為( )2,當(dāng)X=m時(shí),同時(shí)收到兩位老師所發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為2k﹣m,僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為m﹣k,由乘法原理知:事件{X=m}所包含的基本事件數(shù)為
P(X=m)= =
當(dāng)k≤m<t時(shí),P(X=M)<P(X=M+1)(m﹣k+1)2≤(n﹣m)(2k﹣m)m≤2k﹣
假如k≤2k﹣ <t成立,則當(dāng)(k+1)2能被n+2整除時(shí),
k≤2k﹣ <2k+1﹣ <t,故P(X=M)在m=2k﹣ 和m=2k+1﹣ 處達(dá)到最大值;
當(dāng)(k+1)2不能被n+2整除時(shí),P(X=M)在m=2k﹣[ ]處達(dá)到最大值(注:[x]表示不超過x的最大整數(shù)),
下面證明k≤2k﹣ <t
因?yàn)?≤k<n,所以2k﹣ ﹣k= ≥ = ≥0
而2k﹣ ﹣n= <0,故2k﹣ <n,顯然2k﹣ <2k
因此k≤2k﹣ <t
綜上得,符合條件的m=2k﹣[ ]
【解析】(1)由題設(shè),兩位老師發(fā)送信息是獨(dú)立的,要計(jì)算該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率可先計(jì)算其對(duì)立事件,該生沒有接到任一位老師發(fā)送的信息的概率,利用概率的性質(zhì)求解;(2)由題意,要先研究隨機(jī)變量X的取值范圍,由于k≤n故要分兩類k=n與k<n進(jìn)行研究,k=n時(shí)易求,k<n時(shí),要研究出同時(shí)接受到兩位老師信息的人數(shù),然后再研究事件所包含的基本事件數(shù),表示出P(X=m),再根據(jù)其形式研究它取得最大值的整數(shù)m即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】寫出下列命題的否定,并判斷其真假:
(1)任何有理數(shù)都是實(shí)數(shù);
(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù),能使成立.
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【題目】現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次,至少擊中3次的概率:先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1表示沒有擊中目標(biāo),2,3,4,5,6,7,8,
9表示擊中目標(biāo),以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
7527 | 0293 | 7140 | 9857 | 0347 | 4373 | 8636 | 6947 | 1417 | 4698 |
0371 | 6233 | 2616 | 8045 | 6011 | 3661 | 9597 | 7424 | 7610 | 4281 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓E: 的焦點(diǎn)在x軸上
(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;
(2)設(shè)F1 , F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn),P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線F2P交y軸于點(diǎn)Q,并且F1P⊥F1Q,證明:當(dāng)a變化時(shí),點(diǎn)P在某定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為保障高考的公平性,高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀,要求在考點(diǎn)周圍1 km內(nèi)不能收到手機(jī)信號(hào),檢查員抽查某市一考點(diǎn),在考點(diǎn)正西約 km/h的的B處有一條北偏東60°方向的公路,在此處檢查員用手機(jī)接通電話,以每小時(shí)12千米的速度沿公路行駛,最多需要多少時(shí)間,檢查員開始收不到信號(hào),并至少持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間該考點(diǎn)才算合格?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線的普通方程,并說明它表示什么曲線;
(Ⅱ)設(shè)曲線與直線分別交于,兩點(diǎn),若,,成等比數(shù)列,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=alnx+ + x+1,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于y軸.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),如果當(dāng) 時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立. 現(xiàn)已知當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立,那么可推得 ( )
A. 當(dāng)n=7時(shí)該命題不成立 B. 當(dāng)n=7時(shí)該命題成立
C. 當(dāng)n=9時(shí)該命題不成立 D. 當(dāng)n=9時(shí)該命題成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的四個(gè)命題正確的是( )
A. 衡量?jī)勺兞恐g線性相關(guān)關(guān)系的相關(guān)系數(shù)越接近,說明兩變量間線性關(guān)系越密切
B. 在回歸分析中,可以用卡方來刻畫回歸的效果,越大,模型的擬合效果越差
C. 線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)
D. 線性回歸方程中,變量每增加一個(gè)單位時(shí),變量平均增加個(gè)單位
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