Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線的普通方程，并說明它表示什么曲線；

（Ⅱ）設(shè)曲線與直線分別交于，兩點，若，，成等比數(shù)列，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，曲線表示焦點在上的橢圓.(Ⅱ)2.

【解析】分析：（Ⅰ）利用平方關(guān)系消去參數(shù)，結(jié)合的范圍即可得曲線表示焦點在上的橢圓；（Ⅱ）將將直線的參數(shù)方程代入橢圓方程，

詳解：（Ⅰ）曲線的普通方程為，

，

曲線表示焦點在上的橢圓.

（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入橢圓方程，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為、，根據(jù)直線中參數(shù)的幾何意義，由題意得，再結(jié)合韋達定理即可得結(jié)果.

整理得，

即，

，

設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為、，

那么，

由的幾何意義知，，，

于是，，，

若,，成等比數(shù)列，則有，

即，解得，

所以的值為.