【題目】設橢圓E: 的焦點在x軸上
(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;
(2)設F1 , F2分別是橢圓E的左、右焦點,P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點,直線F2P交y軸于點Q,并且F1P⊥F1Q,證明:當a變化時,點P在某定直線上.

【答案】
(1)解:∵橢圓E的焦距為1,∴ ,解得

故橢圓E的方程為


(2)解:設P(x0,y0),F(xiàn)1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),其中

由題設可知:x0≠c.則直線F1P的斜率 = ,直線F2P的斜率 =

故直線F2P的方程為

令x=0,解得 .即點Q

因此直線F1Q的斜率 =

∵F1Q⊥F1P,∴ =

化為

聯(lián)立 ,及x0>0,y0>0,

解得 ,

即點P在定直線x+y=1上


【解析】(1)利用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)即可得出 ,解出即可;(2)設P(x0 , y0),F(xiàn)1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),其中 .利用斜率的計算公式和點斜式即可得出直線F1P的斜率 = ,直線F2P的方程為 .即可得出Q .得到直線F1Q的斜率 = .利用F1Q⊥F1P,可得 = .化為 .與橢圓的方程聯(lián)立即可解出點P的坐標.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

練習冊系列答案
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