【題目】如圖,P是拋物線E:y2=4x上的動點,F是拋物線E的焦點.
(1)求|PF|的最小值;
(2)點B,C在y軸上,直線PB,PC與圓(x﹣1)2+y2=1相切.當|PF|∈[4,6]時,求|BC|的最小值.
【答案】(1)|PF|的最小值為1(2)
【解析】
(1)求得拋物線的焦點和準線方程,運用拋物線的定義和性質(zhì),即可求得|PF|的最小值;
(2)設,分別求得的方程,運用直線和圓相切,得到為方程的兩根,再由韋達定理可得,進而可求得其最小值.
(1)P是拋物線E:y2=4x上的動點,F是拋物線E的焦點(1,0),準線方程為x=﹣1,
由拋物線的定義可得|PF|=d=xP+1,
由,可得d的最小值為1,|PF|的最小值為1;
(2)設,
則PB的方程為yx+m,PC的方程為yx+n,
由直線PA與圓(x﹣1)2+y2=1相切,可得1,
整理得(x0﹣2)m2+2y0m﹣x0=0,
同理可得(x0﹣2)n2+2y0n﹣x0=0,
即有m,n為方程(x0﹣2)x2+2y0x﹣x0=0的兩根,可得m+n,mn,
則|m﹣n|,
由|PF|∈[4,6],可得x0+1∈[4,6],即x0∈[3,5],
令t=|2﹣x0|=x0﹣2,t∈[1,3],
即有|m﹣n|2在[1,3]遞減,
可得t=3即x0=5時,|BC|=|m﹣n|取得最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an﹣1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=anlog2an+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某水果種植基地引進一種新水果品種,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)該水果每株的產(chǎn)量(單位:)和與它“相近”的株數(shù)具有線性相關關系(兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過),并分別記錄了相近株數(shù)為0,1,2,3,4時每株產(chǎn)量的相關數(shù)據(jù)如下:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出該種水果每株的產(chǎn)量關于它“相近”株數(shù)的回歸方程;
(2)有一種植戶準備種植該種水果500株,且每株與它“相近”的株數(shù)都為,計劃收獲后能全部售出,價格為10元,如果收入(收入=產(chǎn)量×價格)不低于25000元,則的最大值是多少?
(3)該種植基地在如圖所示的直角梯形地塊的每個交叉點(直線的交點)處都種了一株該種水果,其中每個小正方形的邊長和直角三角形的直角邊長都為,已知該梯形地塊周邊無其他樹木影響,若從所種的該水果中隨機選取一株,試根據(jù)(1)中的回歸方程,預測它的產(chǎn)量的分布列與數(shù)學期望.
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.
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【題目】某港口某天0時至24時的水深(米)隨時間(時)變化曲線近似滿足如下函數(shù)模型().若該港口在該天0時至24時內(nèi),有且只有3個時刻水深為3米,則該港口該天水最深的時刻不可能為( )
A.16時B.17時C.18時D.19時
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【題目】點是曲線:上的一個動點,曲線在點處的切線與軸、軸分別交于,兩點,點是坐標原點,①;②的面積為定值;③曲線上存在兩點,使得是等邊三角形;④曲線上存在兩點,使得是等腰直角三角形,其中真命題的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】學校為了解高二學生每天自主學習中國古典文學的時間,隨機抽取了高二男生和女生各50名進行問卷調(diào)查,其中每天自主學習中國古典文學的時間超過3小時的學生稱為“古文迷”,否則為“非古文迷”,調(diào)查結果如下表:
古文迷 | 非古文迷 | 合計 | |
男生 | 26 | 24 | 50 |
女生 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 56 | 44 | 100 |
參考公式:,其中
參考數(shù)據(jù):
0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)判斷能否有60%的把握認為“古文迷”與性別有關?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行理科學習時間的調(diào)查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù);
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