【題目】如圖,已知三棱柱中,平面平面,,.
(1)證明:;
(2)設(shè),,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)連結(jié).由菱形得對角線垂直,再由已知及面面垂直的性質(zhì)定理得線面垂直平面,平面,從而,于是證得線面垂直后再得線線垂直;
(2)取的中點為,連結(jié),證得與都垂直后,以為原點,為正方向建立空間直角坐標系,寫出各點坐標,求出平面的法向量,則法向量夾角得二面角,注意要判斷二面角是銳角還是鈍角.
(1)連結(jié).
∵,四邊形為菱形,∴.
∵平面平面,平面平面,
平面,,
∴平面.
又∵,∴平面,∴.
∵,
∴平面,而平面,
∴
(2)取的中點為,連結(jié).
∵,四邊形為菱形,,∴,.
又由(1)知,以為原點,為正方向建立空間直角坐標系,如圖.
設(shè),,,,
∴(0,0,0),(1,0,),(2,0,0),(0,1,0),(-1,1,).
由(1)知,平面的一個法向量為.
設(shè)平面的法向量為,則,∴.
∵,,∴.
令,得,即.
∴,
∴二面角的余弦值為
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【題目】是自然對數(shù)的底數(shù),,已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)有零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)對于,證明:當時,.
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【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC, .點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.
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【題目】某地擬建造一座大型體育館,其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓如圖所示,曲線是以點為圓心的圓的一部分,其中;曲線是拋物線的一部分;,且恰好等于圓的半徑.假定擬建體育館的高(單位:米,下同).
(1)若,,求、的長度;
(2)若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過米,求的取值范圍;
(3)若,求的最大值.
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【題目】已知正方體,過對角線作平面交棱于點E,交棱于點F,則:
①平面分正方體所得兩部分的體積相等;
②四邊形一定是平行四邊形;
③平面與平面不可能垂直;
④四邊形的面積有最大值.
其中所有正確結(jié)論的序號為( )
A.①④B.②③C.①②④D.①②③④
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【題目】已知正方體,過對角線作平面交棱于點E,交棱于點F,則:
①四邊形一定是平行四邊形;
②四邊形有可能為正方形;
③四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形;
④平面有可能垂直于平面.
其中所有正確結(jié)論的序號為( )
A.①②B.②③④C.①④D.①③④
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【題目】已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若
(i)證明恰有兩個零點;
(ii)設(shè)為的極值點,為的零點,且證明:.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,=λ.
(1)若λ=1,求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1- A1C1-D的大小為60°,求實數(shù)λ的值.
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【題目】在三棱錐中,BO、AO、CO所在直線兩兩垂直,且AO=CO,∠BAO=60°,E是AC的中點,三棱錐的體積為
(1)求三棱錐的高;
(2)在線段AB上取一點D,當D在什么位置時,和的夾角大小為
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