Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC， .點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）或.

【解析】試題分析：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.

試題解析：如圖，以A為原點，分別以， ， 方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

（Ⅰ）證明： =（0，2，0），=（2，0， ）.設(shè)，為平面BDE的法向量，

則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2， ），可得.

因為平面BDE，所以MN//平面BDE.

（Ⅱ）解：易知為平面CEM的一個法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因為， ，所以.不妨設(shè)，可得.

因此有，于是.

所以，二面角C—EM—N的正弦值為.

（Ⅲ）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進而可得， .由已知，得，整理得，解得，或.

所以，線段AH的長為或.