【題目】已知函數(shù)f(x)=aln x+ (a∈R).

(1)當(dāng)a=1時,求f(x)在x∈[1,+∞)內(nèi)的最小值;

(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;

(3)求證ln(n+1)> +…+ (n∈N*).

【答案】見解析

【解析】(1)當(dāng)a=1時,f(x)=ln x+,定義域為(0,+∞).

因為f′(x)=>0,

所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)在x∈[1,+∞)內(nèi)的最小值為f(1)=1.

(2)f′(x)=,因為f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以f′(x)<0有正數(shù)解,即ax2+2(a-1)x+a<0有正數(shù)解.

①當(dāng)a=0時,明顯成立.

②當(dāng)a<0時,h(x)=ax2+2(a-1)x+a是開口向下的拋物線,所以ax2+2(a-1)x+a<0有正數(shù)解.

③當(dāng)a>0時,h(x)=ax2+2(a-1)x+a是開口向上的拋物線,即方程ax2+2(a-1)x+a=0有正根.

因為x1x2=1>0,所以方程ax2+2(a-1)x+a=0有兩正根,

所以解得0<a<.

綜合①②③知,a<.

(3)證明:當(dāng)n=1時,ln(n+1)=ln 2,

∵3ln 2=ln 8>1,∴l(xiāng)n 2>,即當(dāng)n=1時,不等式成立.

設(shè)當(dāng)n=k時,ln(k+1)> +…+成立.

當(dāng)n=k+1時,ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln>+…++ln.

根據(jù)(1)的結(jié)論可知,當(dāng)x>1時,ln x+>1,即ln x>.

令x=,所以ln>,則有l(wèi)n(k+2)> +…+,即當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.

綜上可知不等式成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知向量,向量,函數(shù).

I)求單調(diào)遞減區(qū)間;

II)已知分別為內(nèi)角的對邊,為銳角,,且恰是上的最大值,求的面積.

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【題目】已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標(biāo)原點.

(1)求M的軌跡方程;

(2)當(dāng)|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.

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【題目】已知動點P到定點F(1,0)和到直線x=2的距離之比為,設(shè)動點P的軌跡為曲線E,過點F作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A,B兩點,直線l:y=mx+n與曲線E交于C,D兩點,與線段AB相交于一點(與A,B不重合).

(1)求曲線E的方程;

(2)當(dāng)直線l與圓x2+y2=1相切時,四邊形ABCD的面積是否有最大值?若有,求出其最大值及對應(yīng)的直線l的方程;若沒有,請說明理由.

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【題目】設(shè)函數(shù)

(1)若曲線在點處的切線與直線垂直,求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中為自然對數(shù)的底數(shù));

(2)若對任意恒成立,求的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列四個命題:

①樣本方差反映的是所有樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度;

②某只股票經(jīng)歷了10個跌停(下跌10%)后需再經(jīng)過10個漲停(上漲10%)就可以回到原來的凈值;

③某校高三一級部和二級部的人數(shù)分別是m、n,本次期末考試兩級部數(shù)學(xué)平均分分別是a、b,則這兩個級部的數(shù)學(xué)平均分為

④某中學(xué)采用系統(tǒng)抽樣方法,從該校高一年級全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查,現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號.已知從497~513這16個數(shù)中取得的學(xué)生編號是503,則初始在第1小組1~16中隨機(jī)抽到的學(xué)生編號是7.

其中真命題的個數(shù)是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

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【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日

溫差x/℃

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y/顆

23

25

30

26

16

(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率;

(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程x+;

(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?

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【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的定義域為[-1,1],且|f(x)|的最大值為M.

(1)證明:|1+b|≤M;

(2)證明:M≥.

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【題目】某廠今年擬舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x(萬件)與年促銷費m(萬元)(m≥0)滿足x=3-.已知今年生產(chǎn)的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).

(1)將今年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費m(萬元)的函數(shù);

(2)求今年該產(chǎn)品利潤的最大值,此時促銷費為多少萬元?

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