【題目】圖,在四棱錐中,直線平面,.

(1)求證:直線平面.

(2)若直線與平面所成的角的正弦值為,求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)詳見解析(2)

【解析】

試題分析:(1)證明線面垂直,一般多次利用線面垂直判定定理及性質(zhì)定理,經(jīng)多次線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化進(jìn)行論證:在線線垂直論證與尋找時(shí),要注意利用平面幾何的條件,如本題就利用兩三角形相似,得到,再根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理將條件平面轉(zhuǎn)化為線線垂直:,最后根據(jù)線面垂直判定定理得平面(2)線面角找射影,由(1)知直線在平面上射影為交點(diǎn)),則是直線與平面所成的角,二面角的作法,往往結(jié)合三垂線定理:作,由,知平面,是二面角的平面角,最后結(jié)合對(duì)應(yīng)三角形求角的三角函數(shù)值.本題也可建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行論證、求解.

試題解析:

法一:(1)

中點(diǎn),連接,則,

四邊形是平行四邊形,.

直角和直角中,直角直角,易知,

平面,

平面,得證

(2)由,知,,

設(shè),連接,則是直線與平面所成的角,

,,而

,由,知平面,是二面角的平面角

,而,

,,,即二面角的平面角的余弦值為

法二:

(1)平面,,又,故可建立如圖所示坐標(biāo)系

由已知,

,平面

(2)由(1),平面的一個(gè)法向量是

設(shè)直線與平面所成的角為,,,

,即

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,,令,則

顯然二面角的平面角是銳角,

二面角的平面角的余弦值為

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