Question

【題目】已知函數(shù)，其中，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，求的值；

（2）求函數(shù)的極大值；

（3）設(shè)函數(shù)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意得出，由此可求得實(shí)數(shù)的值；

（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)分、和三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極大值；

（3）分別證明不等式和，在證明不等式時(shí)，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；在證明不等式，即證，只需令，利用導(dǎo)數(shù)證明出即可.

（1），，

直線(xiàn)可化為，，

由題意可得，即，解得；

（2）顯然函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

①當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極大值；

②當(dāng)時(shí)，令，解得或，其中.

若或時(shí)，；若時(shí)，.

所以，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

此時(shí)，函數(shù)的極大值為；；

③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒(méi)有極大值；

綜上所述，當(dāng)或，函數(shù)沒(méi)有極大值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為；

（3）①要證，只要證.

令，則，令，可得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，，即；

②要證，只要證，即.

由（2）知，當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，.

綜合①②，成立.