【題目】已知在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,且AD2AB1,PA⊥平面ABCDE、F分別是線段ABBC的中點(diǎn).

(1)證明:PF⊥FD;

(2)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD;

(3)PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角APDF的余弦值.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).

【解析】

(1)因為PA平面ABCD,BAD90°,AB1AD2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0)D(0,2,0)

不妨令P(0,0,t),則(1,1,-t),(1,-1,0)

所以·1×11×(1)(t)×00,所以PFFD.

(2)設(shè)平面PFD的法向量為n(x,y,z),由(1)(1,1,-t),(1,-1,0),則由,得,令z1,則xy.

n是平面PFD的一個法向量.

設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,m),因為E,則

要使EG平面PFD,只需·n0.×m×1m0,

所以mt,從而PA上滿足AGAP的點(diǎn)G可使得EG平面PFD.

(3)易知AB平面PAD,所以(1,0,0)是平面PAD的一個法向量.

又因為PA平面ABCD,所以PBAPB與平面ABCD所成的角,故PBA45°,所以PA1,則平面PFD的一個法向量為n,

cos,n〉=,

由題圖可判斷二面角為銳角.故所求二面角APDF的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計,這三天中恰有兩天下雨的概率近似為

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(Ⅱ) 表示為的函數(shù);

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