Question

【題目】試求所有由互異正奇數(shù)構(gòu)成的三元集{a，b，c}，使其滿足：.

Answer 1

【答案】7個(gè)，，，.

【解析】

據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)a<b<c，由于奇平方數(shù)的末位數(shù)字只具有1、5、9形式，于是的末位數(shù)字，要么是5、5、9的形式，要么是1、9、9的形式.

又知，如果正整數(shù)n是3的倍數(shù)，那么n2必是9的倍數(shù)；如果n不是3的倍數(shù)，那么n2被3除余1.

由于2019是3的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)，因此奇數(shù)a、b、c皆不是3的倍數(shù).

注意，即奇數(shù)c≤43，而，

即c2>673，且c不是3的倍數(shù)，故奇數(shù)c≥29.

因此奇數(shù).

注意如下事實(shí)：如果奇數(shù)為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，那么偶數(shù)2N必可表為兩個(gè)互異正奇數(shù)的平方和.

這是由于，

若c=43，方程化為：.

因此，.

于是得兩解：.

若c=41，方程化為.

由此得：{a，b，c}={7，17，41}.

若c=37，方程化為

，

因此，，

得到三個(gè)解：.

若c=35，方程化為：.

而397是一個(gè)4N+1型的質(zhì)數(shù)，它可唯一地表為兩整數(shù)的平方和：，

所以，

得到一個(gè)解：{a，b，c}={13，25，35}

若c=31，方程化為：，而23是4N－1型的質(zhì)數(shù)，它不能表為兩個(gè)正整數(shù)的平方和.

若c=29，方程化為：，它含有4N－1型的單質(zhì)因子，故不能表為兩整數(shù)的平方和.

綜合以上討論，本題共有七個(gè)滿足條件的互異正奇數(shù)解{a，b，c}，即為：

，，.