Question

【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的右頂點為A(2，0)，離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設過點P(0，﹣2)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當△OMN的面積最大時（O為坐標原點），求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）1（2）yx﹣2.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓右頂點和離心率，結(jié)合，求得的值，由此求得橢圓方程.

（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求得，由此求得三角形的面積的表達式，利用換元法，結(jié)合基本不等式，求得面積的最大值，以及此時直線的斜率，進而求得直線的方程.

（1）由題意得:a=2，e，b2=a2﹣c2，解得:a2=2，b2=1，所以橢圓的方程為:1；

（2）由題意得直線l的斜率存在且不為零，設直線l的方程:y=kx﹣2，M(x，y)，N(x'，y')，聯(lián)立與橢圓的方程整理得:(1+4k2)x2﹣16kx+12=0，△=(16k)2﹣4×12×(1+4k2)>0，得k2，x+x'，xx'，所以弦長MN|x﹣x'|4，原點到直線l的距離d，所以S△OMNMNd4，令t(t>0)，所以4k2=t2+3， S1，當且僅當t=2時等號成立，即k2，滿足條件，解得k，所以直線l的方程為:yx﹣2.