【題目】如圖①,△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,△BCD是等邊三角形.如圖②,將△BCD沿BC折起,使平面BCD⊥平面ABC,記BC的中點為E,BD的中點為M,點F、N在棱AC上,且AF3CF,C.

1)試過直線MN作一平面,使它與平面DEF平行,并加以證明;

2)記(1)中所作的平面為α,求平面α與平面BMN所成銳二面角的余弦值.

【答案】1)見解析;(2

【解析】

1)過,交,連結(jié),推導出的中點,從而,由此能證明平面平面

2)以為原點,軸,軸,過點作平面的垂線為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

(1)過NNGEF,交BCG,連結(jié)MG,則平面MNG∥平面DEF.

理由如下:

EFNG,BC的中點為EBD的中點為M,點FN在棱AC上,且AF3CF,

C.

GBE的中點,

MGDE,又DEEFE,MGNGG

∴平面MNG∥平面DEF.

(2)以B為原點,BCx軸,BAy軸,過點B作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,如下圖所示:

設(shè)BC2,則B(0,00),D(10,),M(),

A(02,0),G(,00),N(,,0),

,(0,0,0,

設(shè)平面BMN的法向量(xy,z),

,取,得,,﹣1,

設(shè)平面GMN的法向量(xy,z),

,取x1,得(1,﹣1,0),

設(shè)平面α與平面BMN所成銳二面角的平面角為θ,

cosθ.

∴平面α與平面BMN所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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1)用樣本估計總體思想估計該中學一年級學生的近視率;

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附:

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潛伏期(單位:天)

人數(shù)

1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為潛伏期與患者年齡有關(guān);

潛伏期

潛伏期

總計

50歲以上(含50歲)

50歲以下

55

總計

200

3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立. 為了深入研究,該研究團隊隨機調(diào)查了名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能即概率最大)是多少?

附:

,其中.

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【題目】已知fx)=|2x1||2x+1|.

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