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【題目】已知函數．

（1）求證：當時，在上存在最小值；

（2）若是的零點且當時，，求實數的取值范圍．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）將代入，對函數進行求導，根據零點存在定理可得在上有唯一零點，判斷單調性即可得結果；

（2）由為函數零點，將用表示可得，當時，通過求導可得在上單調遞增，從而可得結果；，則取，驗證，即時，不滿足題意，綜合可得結果.

（1）的定義域為.

當時，，.

因為當時，，

所以在上單調遞增，

又，.

所以在上有唯一零點，

且當時，；

當時，.

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在上存在最小值.

（2）因為是函數的零點，

所以，即，即，

所以，所以．

①若，則當時，．

所以在上單調遞增，

所以當時，，

所以滿足題意．

②若，則取，

因為，且．

所以不滿足題意．

綜上，的取值范圍．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正多邊形為面的多面體，體現了數學的對稱美．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它們的棱長都相等，其中八個為正三角形，六個為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若棱長為的二十四等邊體的各個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】小軍的微信朋友圈參與了“微信運動”，他隨機選取了40位微信好友（女20人，男20人），統計其在某一天的走路步數．其中，女性好友的走路步數數據記錄如下：

5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860

8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980

男性好友走路的步數情況可分為五個類別（說明：a~b表示大于等于a，小于等于b）

A（0~2000步）1人， B（2001-5000步）2人， C（5001~8000步）3人，

D（8001-10000步）6人， E（10001步及以上）8人

若某人一天的走路步數超過8000步被系統認定為“健康型”否則被系統認定為“進步型”．

（I）訪根據選取的樣本數據完成下面的2×2列聯表，并根據此判斷能否有95%以上的把握認為“認定類型”與“性別”有關？

健康型

進步型

總計

男

20

女

20

總計

40

（Ⅱ）如果從小軍的40位好友中該天走路步數超過10000的人中隨機抽取3人，設抽到女性好友X人，求X的分布列和數學期望．

附：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

討論的單調性.

若，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）當為何值時，直線是曲線的切線；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如題所示的平面圖形中，為矩形，，為線段的中點，點是以為圓心，為直徑的半圓上任一點（不與重合），以為折痕，將半圓所在平面折起，使平面平面，如圖2，為線段的中點.

（1）證明：.

（2）若銳二面角的大小為，求二面角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若平面，二面角為，三棱錐的外接球的球心為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，平面，，，.

（1）求證：平面；

（2）求證：在線段上存在一點，使得，并指明點的位置；

（3）求二面角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖①，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，△BCD是等邊三角形.如圖②，將△BCD沿BC折起，使平面BCD⊥平面ABC，記BC的中點為E，BD的中點為M，點F、N在棱AC上，且AF＝3CF，C.

（1）試過直線MN作一平面，使它與平面DEF平行，并加以證明；

（2）記（1）中所作的平面為α，求平面α與平面BMN所成銳二面角的余弦值.

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